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un cilindro omogeneo di massa $M$ e raggio$ R$ rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità costante $ v $.
contro il cilindro viene sparato un proiettile di massa $ m=M/10$ e velocità $ v_0=9v $ orizzontale e opposta a quella del cilindro.
1) si calcoli l'altezza $ h $ rispetto al piano a cui deve essere sparato il proiettile per arrestare il cilindro. si consideri l'urto completamente anelastico.
2)nel caso in cui il proiettile sia sparato con una velocità $ v_0=20v $ all'altezza $ h $ dal suolo calcolata prima, determinare la velocità angolare del cilindro dopo l'urto supponendo sempre l'urto completamente inelastico.( il proiettile si incastra nel cilindro).

io lo risolverei con la conservazione del momento angolare:

nel primo punto :

$ L_0=3/2MR^2v/R+M/10(-9v)h $

$ L_f=0 $

$ L_0=L_f $

e trovo $ h=5/3R $ che è il risultato corretto.

nel punto due il momento angolare iniziale è sempre come quello calcolato nel punto precedente sostituendo $ h=5/3R $ quindi

$ L_0=3/2MR^2v/R+M/10(-20v)5/3R $

per quanto riguarda il momento angolare finale invece non so come procede. dovrei scrivere il momento angolare del cilindro con il proiettile incastrato ma non so come fare, qualcuno potrebbe spiegarmelo?

$L_f=3/2MR^2v_1/R+(M/10)d^2v_1/R$

Con d distanza tra il punto di impatto del proiettile e punto di contatto del ciindro col suolo da calcolare con un po di facchinaggio geometrico

ma $ d $ non sarebbe $ h $ trovato al punto precedente? e poi è giusto il momento angolare iniziale che ho scritto? perché $ L_0 $ mi esce negativo, mentre $ L_f $ che mi hai detto te è positivo.(il risultato dice che la velocità angolare del sistema cilindro+disco dopo l'urto è positiva)

Il momento angolare che hai scritto e' giusto se il proiettile viaggia contro il disco. Ed e' giusto che venga negativo: se con $v=-9v_0$ a $5/3R$ il disco si fermava, ora, aumentando la velocita' del proiettile, il disco deve rotolare all'indietro.
Se il risultato e' positivo, o e' un errore oppure devi ammettere che chi ha scritto il problema intende che il proiettile viaggia concordemente col cilindro. Un po' ambiguo, in effetti.

d non e' h. il proiettile viaggia all'inizio con $L=mvh$ ma istantaneamente dopo l'impatto nel punto D, si mette a ruotare attorno a C, che e' punto di contatto del cilindro col suolo.
Quindi $L=Iomega$ si traduce in $Iv/R$, ma il momento di inerzia e' $[M/10]d^2$ dove $d=(CD)$

ok la distanza d mi è venuta $ d=sqrt(30/9)R $ ma se sostituisco questo valore non viene il risultato corretto. per quanto riguarda il segno della velocità angolare, se considerassimo inizialmente che il cilindro si sta muovendo in direzione $ hatu_x $ e il proiettile in direzione $ -hatu_x $, dopo l'urto il sistema disco+proiettile si muoverà in direzione $ -hatu_x $ e quindi per la regola del cacciavite (cavatappi) la direzione della velocità angolare è uscente dal piano e quindi sarebbe $ hatu_z $, quindi credo che il segno positivo della velocità angolare sia giusto. che ne pensi?

professorkappa ha scritto:$L_f=3/2MR^2v_1/R+(M/10)d^2v_1/R$

il momento angolare richiesto dal problema è $ v_1/R $ giusto?

Non ho la palla di cristallo. Non so che conti hai fatto se non li posti, ne' so il risultato finale.
A me, con un calcolo veloce e quindi forse affetto da errore, viene che la velocita' finale del cilindro e' 20/11 di quella iniziale

il risultato finale è $ w'=v/R $, ora posto i miei calcoli

per trovare $ d $ ho fatto cosi:

data l'equazione della circonferenza $ x^2+(y-R)^2=R^2 $ ho sostituito ad $ y $ $ h=5/3R $ e ho trovato la coordinata $ x $ del punto di impatto proiettile cilindro: $ x=sqrt(5/9R^2) $
con il teorema di Pitagora ho trovato la distanza $ d $ citata da te $ d=sqrt(x^2+h^2) $ $ d=sqrt(30/9)R $

quindi seguendo la tua formula $ L_f=3/2MR^2w'+(M/10)30/9R^2w' $
ed spostando la conservazione del momento angolare $ L_0=L_f $ ottengo
$ 3/2MR^2v/R+M/10(-20v)5/3R=3/2MR^2w'+(M/10)30/9R^2w' $
ma ricavando $ w' $ ottengo $ w'=-v/R $

a livello di modulo ci sono, ma il segno è sbagliato.

Non occorre. Mi torna il risultato del libro. il depensante che ha scritto la soluzione si e' dimenticato il segno meno nella suoluzione. La mia soluzione precedente si riferiva a un proeittile che viaggiava in direzione concorde col cilindro, perche' mi avevi detto che la soluzione era positiva.

In altre parole il disco rotola con velocita' $omega=v/R$ ma in senso contrario a quello in cui viaggiava al momento dell'impatto. Che e' logico, perche, a 5/3R bastano 9v a fermarlo, e quindi con una velocita' maggiore il il disco deve rotolare all'indietro.

A meno di non invertire i segni mettendo il sistema concorde con la velocita' del proiettile, cosa che il decerebrato non stabilisce nel testo.

Il tuo risultato e' giusto