Ho un problema nello scrivere una relazione cinematica tra un punto materiale ed un corpo rigido.
Presentazione dell'esercizio:
Abbiamo un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$, coassiale e rigidamente fissato ad un disco di raggio $R/2$ e massa trascurabile.
Il disco è appoggiato su un piano orizzontale scabro e si muove di rotolamento puro.
Una molla ideale disposta orizzontalmente, di costante elastica $k$, ha le due estremità vincolate al centro del disco $G$ e ad una parete verticale.
Una fune ideale (indicata nel disegno con una linea tratteggiata) è avvolta attorno al disco di raggio $R/2$,
passa attraverso una carrucola ideale posta ad una altezza per cui la fune nel tratto $OB$ risulta orizzontale e fissata ad un punto materiale di massa $2M$ (doppia del disco).
Chiamiamo $phi$ l'angolo di rotazione del disco.
Cosa occorre fare:
Il professore ci ha chiesto di scrivere di quanto scende/sale il punto materiale in funzione di $phi$, utilizzando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.
Io so la velocità di $P$ è uguale alla velocità di $O$.
Con $O$ si intende quel punto in figura che si trova lungo l'orizzontale e che istante per istante cambia.
Intuitivamente potrei scrivere che il punto materiale scende di quanto si sposta il centro di massa del disco ($Rphi$) meno di quanto si avvolge la fune ($R/2phi$).
Dato che però devo utilizzare la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, scrivo che:
$v_P= v_O$
$v_O = v_G + |(d(phi))/(dt) xx (O-G)|$
$v_O= R (d(phi))/(dt) + |(d(phi))/(dt) xx (O-G)|$
$v_O = R (d(phi))/(dt) - R/2 (d(phi))/(dt)= R/2 (d(phi))/(dt)$
Miei dubbi
In questo caso ho che $v_O$ è diretto unicamente lungo l'orizzontale, mentre $P$ non può che muoversi, ovviamente, lungo la verticale.
In casi come questo, in cui ho un punto materiale collegato ad un corpo rigido per mezzo di una fune ideale, dopo aver trovato la velocità ($v_O$) del punto del corpo rigido a cui è collegata la fune (in questo caso $O$), proiettavo la velocità trovata lungo la direzione nella quale si poteva muovere il punto materiale
(in questo caso $P$).
Come mai in questo caso non devo fare tale proiezione? Tale proiezione darebbe risultato nullo.
E' per via della carrucola che "sposta" il moto? Non capisco.
Forse è dovuto a qualche proprietà delle carrucole. Qualcuno saprebbe aiutarmi?
