corrente in un cilindro coassiale

[Xanatos82]

Ciao, vorrei un aiuto su questo esercizio che mi crea qualche dubbio:

Un conduttore metallico ha forma cilindrica con R=0,12 m. All'interno possiede una cavità coassiale cilindrica di raggio R/4=0,03m. Nel conduttore scorre una densità di corrente variabile pari a \(\displaystyle j(r)=j0 \frac{R}{r} \) lungo l'asse del cilindro stesso. Sapendo che la corrente totale che scorre nel conduttore è \(\displaystyle 4*10^-3 A \) si ricavi il valore di \(\displaystyle J \).

Allora, la mia idea sarebbe questa:

\(\displaystyle i=\lmoustache j dA \)

\(\displaystyle dA=2\pi rdr \)

\(\displaystyle i=\lmoustache j0 \frac{R}{r}2\pi r dr \)

ora la domanda, è corretto che gli estremi di integrazione siano R/4 ed R o sto sbagliando qualcosa?

[mgrau]

Suppongo che quel $J$ che si cerca sia quello che prima hai chiamato $j0$, giusto?
No, non stai sbagliando. Magari, complicando, questo sì... alla fine l'integrale si riduce a $int_(R/4)^R dr$, (con quella dipendenza dal raggio, la densità di corrente è tale che ogni guscio cilindrico di spessore $dr$ trasporta la stessa corrente) e forse basta una moltiplicazione...

[Xanatos82]

si esatto, devo essermi perso lo \(\displaystyle 0 \) quando ho riscritto \(\displaystyle j0 \).

perfetto, quindi sulla prima parte direi che c'ero, e quindi dopo aver risolto trovo che \(\displaystyle j=\frac{0.0044}{r} \). Nella seconda parte invece, chiede il campo magnetico sia all'interno che all'esterno del conduttore.
In questo caso, andrei ad applicare il teorema di Ampere. e mi verrebbe da dire che:
\(\displaystyle B(r)=0 \hspace{0.5cm}se\hspace{0.5cm} 0<r<\frac{R}{4} \)
\(\displaystyle B(r)=\frac{\mu0*0.0044*(R-\frac{R}{4})}{r} \hspace{0.5cm}se\hspace{0.5cm} \frac{R}{4}<r<R \)
\(\displaystyle B(r)=\frac{\mu0*4*10^-3}{2\pi r} \hspace{0.5cm}se\hspace{0.5cm} r>R \)

per trovare il secondo valore ho impostato in questo modo:

\(\displaystyle \oint Bdl=\mu0*\int jdA \)

[mgrau]

Mi pare che $B$ dovrebbe essere costante per $R/4 < r < R$ (direi che ti manca un $r$ al numeratore): la corrente concatenata aumenta linearmente con $r$, e anche la lunghezza del percorso di integrazione.

[Xanatos82]

provo a scriverti per esteso quello che ho fatto:

\(\displaystyle ∮Bdl=μ0∗I_{conc} \)

\(\displaystyle ∮Bdl=μ0∗∫jdA \)

\(\displaystyle B2πr=μ0∫\frac{0.0044}{r}∗2πrdr \)

\(\displaystyle B*2\pi r=\mu0*0.0044*2*\pi*\int_{R/4}^{R} dr \)

\(\displaystyle B=\mu0*0.0044\frac{R-\frac{R}{4}}{r} \)

sbaglio da qualche parte?

[Xanatos82]

forse ho capito: per caso l'estremo superiore dell'integrale per trovare la corrente concatenata è \(\displaystyle r\) e non \(\displaystyle R \)?
Altrimenti è come se considerassi ogni volta che la corrente concatenata è tutta quanta quella disponibile sul conduttore indipendentemente dal percorso che sto considerando?

[mgrau]

forse ho capito: per caso l'estremo superiore dell'integrale per trovare la corrente concatenata è \(\displaystyle r\) e non \(\displaystyle R \)?

Eh già...