Problema di fisica per l'ammissione alla facoltà di ingegneria della Sant'Anna

[Emanuele09]

Il problema nell'immagine è tratto da un test di ammissione alla Sant'Anna per le facoltà di ingegneria. Io credo di essere riuscito a risolverlo, ma comunque vorrei avere le vostre opinioni e sapere se ho sbagliato o se manca qualcosa.
Soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1) Il blocco inizierà a strisciare quando la forza di attrito statico (tra il blocco e il nastro) sarà uguale a quella esercitata dalla molla. (una spiegazione più approfondita la darò nella $2^a$ parte dell'esercizio)
Quindi poniamo $F_k$ e $F_a$ uguali rispettivamente alla forza esercitata dalla molla e alla forza dovuta all'attrito. (Le due forze saranno sempre discordi)
$F_k=F_a$
$kx=mg\mu_s$

$x=(mg\mu_s)/k$

2)


Per tracciare il grafico ho fatto queste considerazioni:
$2_a$) Inizialmente il corpo si muove con velocità costante $v_0$ poiché $F_a>F_k$.
$2_b$) Quindi il corpo viene trascinato per un tratto $x$ e $F_k$ aumenta fino a che sarà $F_k=F_a$.
Ciò fa si che il corpo smetta di muoversi, quindi ora la sua velocità è uguale a 0.
$2_c$) Il corpo è fermo, ma il nastro no. Quindi l'attrito tra il corpo e il nastro non è più quello statico, ma quello dinamico, ciò significa che la forza di attrito diminuisce di intensità ($\mu_s>\mu_d$).
Quindi essendo $F_k>F_a$ il corpo viene trascinato verso la molla, ed ha una velocità negativa non costante, la quale diminuisce poiché avvicinandosi alla molla diminuisce ovviamente $F_k$.
$2_d$) Quindi ad un certo punto si stabilirà un nuovo equilibrio tra le forze: $F_k=F_a$. Ora il corpo ha nuovamente velocità uguale a 0.
$2_e$) Ciò comporta che l'attrito passi da dinamico a statico, e quindi risulta di nuovo $F_a>F_k$. La velocità ritorna al valore $v_0$. Da qui si ritorna al punto $2_b$ e ricomincia il ciclo.

3) Il corpo riprende a spostarsi senza strisciare sul nastro quando avviene la situazione illustrata nel punto $2_d$, cioè quando la forza elastica sarà uguale alla forza d'attrito dinamico.
$F_k=F_a$
$kx'=mg\mu_d$

$x'=(mg\mu_d)/k$

[axpgn]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Secondo me, è meglio se chiedi ai moderatori di spostare questa discussione nella sezione di Fisica, hai molte più probabilità di ottenere risposta. O magari anche Ingegneria.
NON duplicare il thread, fallo spostare

Cordialmente, Alex

[Emanuele09]

Grazie per il consiglio, lo farò

[Shackle]

Ciao Emanuele.

1) Il blocco inizierà a strisciare quando la forza di attrito statico (tra il blocco e il nastro) sarà uguale a quella esercitata dalla molla.

Il blocco rimane in quiete sul nastro, quindi con la stessa velocità assoluta $v_0$ del nastro (rispetto a un asse x fisso diretto verso destra, con origine nell’attacco della molla) fin quando la forza di attrito rimarrà inferiore al valore max dato , in modulo, da : $ F_a(max) = mu_smg$. Infatti, per avere moto assoluto del blocco a velocità $v_0$ costante, la somma vettoriale delle forze agenti deve essere sempre nulla in questa prima fase. Siccome la forza della molla, diretta a Sn, aumenta in modulo con $x$ , deve aumentare di pari passo, in modulo, la forza resistente di attrito tra nastro e corpo. Perciò modifico la tua frase :

Quindi poniamo $ F_k = kx_1$ e $ F_a(max) $ uguali rispettivamente alla forza esercitata dalla molla e alla massima forza dovuta all’attrito statico, per trovare la massima distanza $x_1$ percorsa dalla massa a velocità costante :

$ F_k=F_a(max) $
$ kx_1 =mg\mu_s $

$ x_1=(mg\mu_s)/k $

2)
........grafico.......

Per tracciare il grafico ho fatto queste considerazioni:
$ 2_a $) Inizialmente il corpo si muove con velocità costante $ v_0 $ poiché $ F_a>F_k $.

Come detto, durante il moto a velocità costante la somma vettoriale delle forze agenti è nulla. Quindi non è vero che : $ F_a>F_k $ . È la massima forza di attrito prima detta $mu_smg$ , che supera in modulo la forza della molla, fino all’istante in cui si ha uguaglianza, ti pare ?

$ 2_b $) Quindi il corpo viene trascinato per un tratto $ x $ e $ F_k $ aumenta fino a che sarà $ F_k=F_a $.
Ciò fa si che il corpo smetta di muoversi, quindi ora la sua velocità è uguale a 0.

Quando si ha l’uguaglianza delle forze dette, il corpo subisce una repentina accelerazione verso Sn, perchè in un brevissimo tempo la forza della molla supera la resistenza di attrito che ora è dinamico $ mu_dmg$ , e costante (come dice il testo ) . Non mi sta bene che il diagramma di $v(t)$ abbia quella cuspide alla fine del primo tratto, perchè “cuspide” vorrebbe dire “funzione non derivabile” in quel punto. Mi sta bene, invece, che la velocità diventi rapidamente negativa, quindi il grafico va sotto l’asse $t$ .

$ 2_c $) Il corpo è fermo, ma il nastro no. Quindi l'attrito tra il corpo e il nastro non è più quello statico, ma quello dinamico, ciò significa che la forza di attrito diminuisce di intensità ($ \mu_s>\mu_d $).

Diciamo che c’è un istante in cui il corpo si ferma, perchè deve invertire il moto, sí . Tant’è vero che il grafico taglia l’asse $t$. Ora la forza della molla è maggiore (parliamo sempre di moduli!) di $mu_dmg$, e questa è costante, quindi il moto rimane vario (ma non uniformemente accelerato) fin quando la tensione della molla non uguaglia il valore della $F_a(max)$ prima detto , e a questo punto il corpo torna di nuovo in quiete rispetto al nastro .
Io credo che il diagramma della velocità dovrebbe avere piu o meno questo aspetto :



La seconda parte rispecchia l’andamento della prima. Insomma, il nastro tira dapprima verso destra il corpo, poi la forza elastica lo tira indietro repentinamente fin a quando non si ristabilisce di nuovo l’uguaglianza tra forza della molla e forza di attrito statico, e il corpo ritorna a muoversi verso destra...e cosí via ...

Qui non abbiamo tenuto affatto conto di possibili fenomeni oscillatori che possono instaurarsi , in questo corpo che da destra viene tirato a sinistra dalla molla... se il corpo oscilla, il diagramma della velocità è diverso ovviamente taglia più volte l’asse t . Ma così su due piedi non si può dire, credo che non sia questo lo scopo del test.