Cosa accomuna in generale i processi reversibili e irreversibili?

[Faussone]

@alterbi

Per favore quando scrivi usa la punteggiatura (e magari correggi un minimo gli errori ortografici/di battitura che sono davvero fastidiosi se ricorrenti).
Infine rileggi e cerca di capire se quello che hai scritto è sufficientemente chiaro.
Scusa la predica, ma davvero io leggendo non riesco a capire cosa vuoi dire, e oltre un problema di concetti fisici è anche un problema di scrittura credo.

Io di questa benedetta disuguaglianza ,con o senza infinitesimi, ancora non ho capito dove sia il tuo problema.

[alterbi]

@Faussone:

Ho solo ora il piacere di leggerti perché non ho avuto accessibilità al sito per lungo tempo.
Volevo chiedere scusa a te e ad altri lettori se ho fatto errori di battitura; potrei addurre la scusa di aver usato un cellulare, ma non c'entra: avrei dovuto rileggere quel che scrivevo, tuttavia preso dalla foga del dubbio non l'ho fatto. Mi scuso sinceramente.

Io di questa benedetta disuguaglianza ,con o senza infinitesimi, ancora non ho capito dove sia il tuo problema.

Provo a rispondere graficamente



In veste finita so che $DeltaS>=\int_A^B((\deltaQ)/T)_(irr)$, questo mi dice che tra due punti A e B di equilibrio il calcolo dell'integrale è minore della differenza di entropia (che calcolo sul semiciclo reversibile).
Vi è una corrispondenza sugli estremi del tratto percorso reversibilmente o irreversibilmente (sono sempre A e B).


Quando passo alla definizione infinitesima, il $dS$ è calcolato su un tratto infinitesimo del percorso (mettiamo tra due punti A' e B') reversibile, mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ rappresenta uno degli infiniti (al continuo) scambi di calore a una certa temperatura tra una sorgente e il sistema in esame nel tratto irreversibile.
Il punto è che, come in figura, potrei calcolare il $dS$ in un tratto tra due estremi A' e B' distanti un infinitesimo; mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ mi sembra in questo caso non essere più calcolato nel percorso irreversibile tra i medesimi estremi A' e B' bensì potrei considerarlo tra due estremi qualsiasi A'' B'' o A''' e B''' sul tratto irreversibile (vedasi figura) $((deltaQ)/T)_(irr)^1$ ma anche $((deltaQ)/T)_(irr)^2$ in tal modo potrebbe essere vero che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^2$ ma non che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^1$.

]Mi sembra in sostanza che anche nel caso infinitesimo debba sussistere una situazione come in fig.2 (il ciclo infinitesimo a destra nella pic). Ma integrando tali infinitesimi integrerei i cicli infinitesimi di cui parlavo, il che non avrebbe senso.

Ecco, in questo senso non capisco la rappresentazione infinitesima del teorema.

[Faussone]

Ciao, grazie per il messaggio più chiaro e curato!

...ma scusa, cosa c'entra paragonare due tratti infinitesimi con diversi punti di partenza e di arrivo? Cosa ti aspetteresti di trovare e provare in un caso del genere?
È chiaro che in un caso del genere, indipendentemente dal fatto che i tratti siano di trasformazione reversibile o irreversibile, nulla si può dire.

[alterbi]

Ciao, grazie per il messaggio più chiaro e curato!

Era il minimo nei confronti di chi mi ha aiutato (tu) e ospitato la domanda (forum) . Mi è spiaciuto solo non poterti rispondere prima, ma non ero sparito, ho potuto leggerti solo ieri!

È chiaro che in un caso del genere, indipendentemente dal fatto che i tratti siano di trasformazione reversibile o irreversibile, nulla si può dire

Esatto, proprio quello era il fulcro.

Il fatto è che io ho dimostrato al finito: $DeltaS>=\int_A^B((\deltaQ)/T)_(irr)$ (1) e quindi vedevo passare all'infinitesimo come il "togliere l'integrale e confrontare le sole integrande", il busillis era: sì le integrande ma in quali punti tra gli infiniti tratti compresi tra A e B? Era questo, mi sembra di dedurre, l'errore: io confrontavo qualunque tratto.

In realtà, anche nell'infinitesimo, devo mantenere i due estremi fissi a dx e sx della disuguaglianza: $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)$ così da mantenere coerenza con il risultato del teorema ottenuto al finito.

Però, d'altro canto, se io prendo $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)$ e intendo dei cicli infinitesimi compresi come in figura2 da A' e B', quando paso all'integrale $\intdS>=\_int((deltaQ)/T)_(irr)$ sto integrando questi infiniti micro cicli e non è lo stesso risultato della (1).

In poche parole: sia che tolgo l'integrale e confronto le integrande ho un problema perché confronterei tratti diversi in modo insensato, sia che considero anche i tratti infinitesimi ciclici e andando a integrare trovo dei problemi nel passare da infinitesimo a finito e viceversa.
Mi sa che la domanda era così sempliciotta e spiegata male prima, che non ti avevo fatto comprendere.

[gtx]

Passare da quantità finite a "infinitesime" a volte può portare a cose senza senso, come accade in questo caso.

L'entropia ci dice che per una qualunque trasformazione irreversibile da A a B vale:

$int_(A)^(B)dS > int_(A gamma B) (deltaQ)/(dT)$

Ora io non sono esperto di forme differenziali, ma questi non sono semplici integrali di una funzione integranda, ma integrali di forme differenziali, se un integrale di una forma differenziale è sempre maggiore di un altro integrale di un'altra forma differenziale, non penso proprio si possa dire che una forma differenziale è maggiore dell'altra. Insomma c'è un limite all'interpretazione "pratica" e "infinitesim" dei deltaQ e dei dS.

Un discorso a parte si può fare invece se, invece di considerare "tutte" le trasofmrazion irreversibili da A a B, consideriamo una "specifica" trasformazione da A a B nei due casi: reversibile e irreversibile, in tal caso possiamo dire che percorrendo un tratto $d gamma$ della trasformazione, se lo facciamo reversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(rev)$, se invece lo facciamo irreversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(irr)$, il secondo principio ci dice che in questo caso $(deltaQ)/(T)_(rev)>(deltaQ)/(T)_(irr)$.

Direi quindi che la notazione $dS>= (deltaQ)/T$ vada interpretata come: su un un tratto infinitesimo di una trasformazione (reversibile oppure irreversibile), la variazione di entropia è maggiore o uguale della quantità a destra, sempre valutata sullo stesso tratto ifnintesimo della stessa trasformazione.

[gtx]

E' chiaro che da questo punto di vista il secondo principio in forma "infinitesima" è molto meno generale di quello in forma integrale. Mi pare anche ragionevole, dato che i principi integrali sono sempre più generali di quelli differenziali.

[alterbi]

@gtx condivido il tuo discorso. Era proprio lì che sbagliavo.
Chiarissmo come sempre!!

Direi che ho terminato le domande

Grazie davver @faussone e @gtx, siete stati molto gentili e completi nel rispondermi

[Faussone]

@alterbi
Bene sono contento che finalmente ci siamo capiti.
Come consiglio, anche alla luce di questo, mi permetto di ripeterti che prima di lanciarti in ragionamenti vari cerca di chiarire esattamente dove sia il tuo dubbio, questo credo sia un tipico caso in cui questa tecnica forse ti avrebbe aiutato.


Vorrei approfittarne per fornire qualche altro spunto di riflessione, spero aiuti, nel caso spaventi chi sta affrontando la termodinamica da poco e si imbatta qui, può lasciar perdere e non preoccuparsi, queste cose le vedrà più avanti acquisendo anche gli strumenti matematici necessari (almeno nei corsi di matematica, fisica e ingegneria).

Altra premessa è che non sarò super rigoroso con i passaggi matematici (sia perché non sono in grado per formazione, sia perché credo non sia utile in questo contesto fisico).


Vorrei chiarire un poco il significato degli integrali

(1) $int_1^2 delta q$
e
(2) $int_1^2 1/T * delta q$
(pensiamo sempre al caso reversibile comunque, come dico anche in fondo).

Si tratta di integrali che vanno fatti lungo il percorso della trasformazione per cui si hanno i vari scambi di calore $delta q$, per capire bene faccio un esempio e considero un gas perfetto per rendere i conti più facili, ma la conclusione è generale.

Focalizziamoci poi sul piano $p$, $v$, ma il discorso si potrebbe fare per qualunque coppia di variabili di stato.
Supponiamo che la trasformazione che il gas segue sia parametrizzata con una variabile $tau$ che ad ogni istante fornisca i valori di $p$ e $v$, quindi:

$p=p(tau)$
e
$v=v(tau)$

In generale fare l'integrale (1) significa calcolare:




$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}p'(tau) + \frac{\partial q}{\partial v} \|_{p} v'(tau)) d tau $


dove con l'apice intendo derivata rispetto al parametro $tau$ e
$p(tau_1)=p_1$ , $p(tau_2)=p_2$ dove $1$ e $2$ sono gli stati di inzio e fine trasformazione (e similmente per $v$).

Ora considerando che per un gas perfetto vale:

$p*dv+v dp=RdT$
e che per il primo principio, sempre per gas perfetto vale:
$delta q = c_v dT + p dv$

si trova facilmente (ricordando anche che $c_p-c_v=R$) che
$\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}=c_v*v/R$
e
$\frac{\partial q}{\partial v}| _{p}=c_p*p/R$

quindi l'integrale (1) diventa

$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{R} p'(tau) + c_p\frac{p(tau)}{R} v'(tau)) d tau $

e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(tau)$ e $v(tau)$, quindi da come la trasformazione procede.
Senza mettere dei valori per queste funzioni che danno il cammino non si può infatti proseguire e svolgere il calcolo.

Vediamo cosa succede ora passando alla (2) quindi in pratica dividendo l'espressione appena trovata per $T$:

$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{RT} p'(tau) + c_p*\frac{p(tau)}{RT} v'(tau)) d tau $

che ricordando la legge dei gas perfetti diventa:

$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{c_v}{p(tau)} p'(tau) + \frac{c_p}{v(tau)} v'(tau)) d tau $

Questa espressione si integra facilmente e diventa:

$[c_v ln p(tau) + c_p ln v(tau)]_{tau_1}^{tau_2}=c_v ln (p_2/p_1)+c_p ln (v_2/v_1) \equiv s_2-s_1$

Il dividere per $T$ ha reso quell'integrale indipendente dal percorso e ha consentito di definire la funzione entropia.

Per questo quando si passa alle quantità differenziali per l'entropia possiamo usare
$ds$ mentre per il calore usiamo $delta q$, per la prima esiste una funzione che rende quel differenziale indipendente dal cammino, ma dipendente solo dagli stati iniziali e finali, mentre per il secondo no.

Questo discorso come già detto qui è stato svolto per gas perfetti ma ovviamente è generale, come si evince dalla trattazione teorica a cui si è accennato in tutta questa discussione.

C'è da notare che in questo discorso stavamo sempre parlando di un ipotetico cammino reversibile parametrizzato con $tau$, altrimenti le variabili di stato lungo il cammino non sarebbero definite e non si potrebbe svolgere alcun integrale.
Nel caso irreversibile l'integrale va pensato come una somma dei calori scambiati con varie sorgenti (al limite infinite) a temperatura $T$ (diversa in generale) su un dato cammino, ma non potremo usare le variabili di stato del sistema e svolgere un integrale appunto.

Spero sia utile.

EDIT: Corretta una imprecisione nella frase finale sul caso irreversibile.

[alterbi]

E' molto utile, anche se credo di non avere ancora piene capacità . Mi sembra di capire sia un integrale di linea su cui sono arrivato per caso leggendo la precedente risposta di gtx e ho visto da programma che farò solo ad analisi 2, quindi so a malapena dopo una lettura personale di oggi (vera serendipità). Quindi ho capito il senso, ma non saprei -ammetto- farlo del tutto mio ancora.

C'è una cosa che non ho afferrato appieno dove dici

e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(τ)$ e $v(τ)$

vedo bene che nel caso in cui divido per T trovo un integrale fondamentale che esita in un logaritmo.

Non ho invece ben capito perché nel caso quotato qui sopra no, voglio dire: ho $p(τ)$ e $v(τ)$ a integrando ma per quale motivo non la ritengo integrabile e dico avere dipendenza dal percorso?

PS: tra l'altro il tutto si unisce al concetto di differenziale esatto o meno, che sempre leggevo grazie allo spunto di gtx.

@alterbi
Bene sono contento che finalmente ci siamo capiti.
Come consiglio, anche alla luce di questo, mi permetto di ripeterti che prima di lanciarti in ragionamenti vari cerca di chiarire esattamente dove sia il tuo dubbio, questo credo sia un tipico caso in cui questa tecnica forse ti avrebbe aiutato.

Hai ragionissima, tra l'altro credo che la colpa sia anche imputabile al fatto che spesso giungo alle considerazioni tramite dubbi e poi dopo alcune pagine di studio scopro esserci giàscritto il discorso che poteva chiarirmelo risparmiandomi giorni persi ad elucubrare in modo anche sbagliato.
Dovrei farmi meno domande almeno nella prima lettura, è che ne sono realmente travolto alle volte.

[gtx]

Il concetto matematico dietro a tutto questo è quello di forma differenziale:

Il calore (e il lavoro) è sempre espresso come "forma differenziale", ossia come qualcosa che ha la forma di un differenziale, questo ci permette di determinare come agisce una quantità di calore "infinitesima" $deltaQ$ su parametri di stato del sistema, diciamo p, T, v, in pratica:

$deltaQ=q_1dp+q_2dT+q_3dV$

Questa è quella che viene definita forma differenziale (perché ha appunto la forma di un differenziale, ma solo la forma), i coefficienti q_i sono in generale funzioni del tipo $q_i=q_i(p,T,v)$.

A cosa serve una forma differenziale, a essere integrata praticamente: Una forma differenziale si integra lungo una curva $gamma$ nello spazio (p, T,V), detta trasformazione. Si tratta di fatta di un integrale di linea, ma il concetto di integrazione di forme differenziali è più generale di quello di integrazione di funzioni lungo curve, il motivo è ovvio, per esempio nel caso del calore non ha nessun significato una funzione "calore", ma ha significato l'effetto di una quantitòà piccola di calore sullo stato del sistema. Partendo da un punto (p1, T1,V1) e arrivando a un punto (p2,T2,V2) si posso eseguire numerosi percorsi $gamma$, a seconda del percorso scelto, l'integrale della forma differenziale $deltaQ$ in generale è diverso.

Per questo motivo non è possibile trovare una funzione f il cui differenziale $df=f_pdp+f_TdT+f_VdV$ sia pari alla forma differenziale $deltaQ$, ossia non esiste una f(p,T,V) tale che $f_p=q_1, f_T=q_2, f_V=q_3$, dove con il pedice intendo la derivata parziale. Per questo deltaQ non è una forma differenziale esatta, ossia non è il differenziale vero di qualche funzione, ma solo qualcosa che ha la forma di un differenziale. Stessa cosa si può dire in generale per il lavoro $deltaL$.

Il primo principio dice in pratica che la forma differenziale $deltaQ-deltaL$ è una forma esatta, ossia il differenziale dell'energia interna.

Il secondo principio dice che la forma $(deltaQ)/T$ (reversibile) è una forma esatta, ossia l'entropia.