Passaggi in coordinate sferiche per l'accelerazione

Salve a tutti, vedendo un esercizio del mio libro di meccanica razionale e sviluppando le derivate per il calcolo di velocità e accelerazione, tutto mi torna, tranne per i 2 termini evidenziati sottolineati in rosso,




in quanto non c'è nessuna relazione con i primi 2 vettori U1 e U2, poichè nel calcolo mi risulta la seguente forma:
$ - $
$ -rdot(varphi ) ^2sin(vartheta )(cosvarphi i+sinvarphi j) $

Sapreste darmi una mano per cortesia, non riesco a capire come eseguire le derivate per ricondurli a tali. tutte le derivate con i propri termini coincidono, tranne quelli. Grazie!

Diciamola meglio questa cosa. Partiamo da uno spazio euclideo tridimensionale, in cui esiste un sistema di riferimento in coordinate cartesiane ortonormali, di versori $ hati, hatj, hatk$. Un punto mobile P ha velocita $vecv$ e accelerazione $veca$ rispetto a questo sistema di riferimento.
Dotiamo ora lo stesso spazio di un sistema di coordinate sferiche $r,theta, phi$ , i cui versori sono $e_r , e_\theta, e_\phi $ ( sarebbero quelli che hai indicato con $vecu_i $ , con $ i =1,2,3$ . Preferisco chiamarli come detto, ora ti dico perché...) .

Vogliamo esprimere velocità e accelerazione di P in questo sistema di coordinate. Allora , occorre tener presente che , quando passiamo da P a ( P + dP ) , variano non solo le coordinate ma anche i versori , quindi nel derivare rispetto al tempo si devono derivare anche i versori mobili. Tra i versori cartesiani e gli altri ci sono queste relazioni¹ :



e quindi, esprimendo velocita e accelerazione nei due sistemi di coordinate :



insomma, è solo una questione di derivate. Scusami, ma più di questo non posso.

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Note

1. rispondo anch’io con delle immagini, giacchè ho trovato quello che ti serve in un mio libro di geometria differenziale , dove si parla appunto di coordinate curvilinee ↑

Five ti ringrazio per l'impegno e sei stato esauriente e utilissimo, avevo trovato online anche io un discorso analogo al tuo e anche io infatti ho compreso dapprima il discorso di derivazione con i vettori, in questo caso però volevo utilizzare il ragionamento fatto dal libro e quindi risolverlo coi passaggi che utilizzava. trovo più idoneo il tuo ragionamento infatti! ti ringrazio ancora, se magari qualche altro utente trova la soluzione ringrazierò anche lui, ma apprezzo davvero il tuo impegno!

La questione è quasi analoga, probabilmente mi sfugge qualcosa... sviluppando le derivate, per i termini che ho assegnato, viene fuori

$ -rdot(varphi ) ^2 sinvartheta (sinvarphi i+cosvarphi j) $

però sia nel mio che nel tuo caso anche se i vettori sono denominati in maniera diversa, è sempre la stessa, non capisco come associa questo vettore con u1 ed u2. chissà se tu hai una delucidazione

Diciamola meglio questa cosa. Partiamo da uno spazio euclideo tridimensionale, in cui esiste un sistema di riferimento in coordinate cartesiane ortonormali, di versori $ hati, hatj, hatk$. Un punto mobile P ha velocita $vecv$ e accelerazione $veca$ rispetto a questo sistema di riferimento.
Dotiamo ora lo stesso spazio di un sistema di coordinate sferiche $r,theta, phi$ , i cui versori sono $e_r , e_\theta, e_\phi $ ( sarebbero quelli che hai indicato con $vecu_i $ , con $ i =1,2,3$ . Preferisco chiamarli come detto, ora ti dico perché...) .

Vogliamo esprimere velocità e accelerazione di P in questo sistema di coordinate. Allora , occorre tener presente che , quando passiamo da P a ( P + dP ) , variano non solo le coordinate ma anche i versori , quindi nel derivare rispetto al tempo si devono derivare anche i versori mobili. Tra i versori cartesiani e gli altri ci sono queste relazioni¹ :



e quindi, esprimendo velocita e accelerazione nei due sistemi di coordinate :



insomma, è solo una questione di derivate. Scusami, ma più di questo non posso.

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Note

1. rispondo anch’io con delle immagini, giacchè ho trovato quello che ti serve in un mio libro di geometria differenziale , dove si parla appunto di coordinate curvilinee ↑

Fammi capire, tu vuoi derivare..
$ v=dotre_r+rdotθcos( Φ) e_θ+rdotφe_φ $
E va che se derivi devi derivare anche $ e_r $ è compagni, scrivili in coordinate polari e vedi che ti viene
In sostanza:
$ (dv) /dt= $ è solo una delle componenti di $ a $
L'altra è $ ω×v=..... $ poi le sommi e gioco fatto