Momento d'inerzia rocchetto

Un rocchetto è costituito da due dischi di raggio $R$ e massa $M$ uniti da un asse cilindrico di raggio $r$ e
massa m come mostrato in figura. Sull’asse del cilindro è avvolto per una lunghezza L un filo inestensibile
e di massa trascurabile che ad un estremo è fissato sull’asse stesso. Mentre il rocchetto viene tenuto fermo,
l’altro estremo del filo è connesso ad un vincolo in modo tale che il filo sia teso e verticale.
Calcolare:
1. Il momento d’inerzia del rocchetto rispetto al punto di contatto del filo con il rocchetto




Il testo è riassunto, ma non mi sembra che serva altro per rispondere alla domanda 1.
Io ho pensato di farlo cosi:
I momenti di inerzia dei due dischi valgono ciascuno: $\frac{1}{2}MR^2$. Traslando con Huygens steiner ad un asse orizzontale passante per il centro di massa del cilindro, il momento d'inerzia complessivo dei 2 dischi vale:
$2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2)$ dove $\frac{h}{2}$ sarebbe metà dell'altezza del cilindro e anche la distanza del CM del disco da quello del cilindro (supponendo il disco di altezza trascurabile).
Ora, sommandogli il momento di inerzia di un cilindro con asse passante per un estemo di trova:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2) + (frac{1}{2}mr^2 + m(\frac{h}{2})^2)$
Il risultato dovrebbe essere:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + Mr^2) + (frac{1}{2}mr^2 + mr^2)$
Quindi sto sbagliando io o devo ricavarmi in qualche modo che $h = 2r$ ?

Che cos'è $h$, e perchè mai dovrebbe entrare nel calcolo del momento d'inerzia? (infatti nel risultato non compare...)

L'ho scritto, l'altezza del cilindro, pensavo servisse traslare i momenti di inerzia per il centro di massa totale del sistema. Forse non ho capito bene questo sistema.

Per "altezza del cilindro" intendi la distanza dei due dischi? E cosa c'entra con la traslazione da usare per H.S.? lo spostamento rispetto al centro di massa è $r$, non $h$

Scusa il disegno un pò grezzo, ma quindi si sta facendo questa traslazione di asse?



E quindi in realtà l'asse di rotazione del rocchetto è quello sopra?

Scusa il disegno un pò grezzo, ma quindi si sta facendo questa traslazione di asse?



E quindi in realtà l'asse di rotazione del rocchetto è quello sopra?

Eh già. Il punto di contatto fra la fune e il rocchetto sta lì.