Momento d'inerzia rocchetto
Inviato: 29/05/2020, 06:45Un rocchetto è costituito da due dischi di raggio $R$ e massa $M$ uniti da un asse cilindrico di raggio $r$ e
massa m come mostrato in figura. Sull’asse del cilindro è avvolto per una lunghezza L un filo inestensibile
e di massa trascurabile che ad un estremo è fissato sull’asse stesso. Mentre il rocchetto viene tenuto fermo,
l’altro estremo del filo è connesso ad un vincolo in modo tale che il filo sia teso e verticale.
Calcolare:
1. Il momento d’inerzia del rocchetto rispetto al punto di contatto del filo con il rocchetto
Il testo è riassunto, ma non mi sembra che serva altro per rispondere alla domanda 1.
Io ho pensato di farlo cosi:
I momenti di inerzia dei due dischi valgono ciascuno: $\frac{1}{2}MR^2$. Traslando con Huygens steiner ad un asse orizzontale passante per il centro di massa del cilindro, il momento d'inerzia complessivo dei 2 dischi vale:
$2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2)$ dove $\frac{h}{2}$ sarebbe metà dell'altezza del cilindro e anche la distanza del CM del disco da quello del cilindro (supponendo il disco di altezza trascurabile).
Ora, sommandogli il momento di inerzia di un cilindro con asse passante per un estemo di trova:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2) + (frac{1}{2}mr^2 + m(\frac{h}{2})^2)$
Il risultato dovrebbe essere:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + Mr^2) + (frac{1}{2}mr^2 + mr^2)$
Quindi sto sbagliando io o devo ricavarmi in qualche modo che $h = 2r$ ?
massa m come mostrato in figura. Sull’asse del cilindro è avvolto per una lunghezza L un filo inestensibile
e di massa trascurabile che ad un estremo è fissato sull’asse stesso. Mentre il rocchetto viene tenuto fermo,
l’altro estremo del filo è connesso ad un vincolo in modo tale che il filo sia teso e verticale.
Calcolare:
1. Il momento d’inerzia del rocchetto rispetto al punto di contatto del filo con il rocchetto
Il testo è riassunto, ma non mi sembra che serva altro per rispondere alla domanda 1.
Io ho pensato di farlo cosi:
I momenti di inerzia dei due dischi valgono ciascuno: $\frac{1}{2}MR^2$. Traslando con Huygens steiner ad un asse orizzontale passante per il centro di massa del cilindro, il momento d'inerzia complessivo dei 2 dischi vale:
$2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2)$ dove $\frac{h}{2}$ sarebbe metà dell'altezza del cilindro e anche la distanza del CM del disco da quello del cilindro (supponendo il disco di altezza trascurabile).
Ora, sommandogli il momento di inerzia di un cilindro con asse passante per un estemo di trova:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + M(\frac{h}{2})^2) + (frac{1}{2}mr^2 + m(\frac{h}{2})^2)$
Il risultato dovrebbe essere:
$I_{0} = 2(\frac{1}{2}MR^2 + Mr^2) + (frac{1}{2}mr^2 + mr^2)$
Quindi sto sbagliando io o devo ricavarmi in qualche modo che $h = 2r$ ?
