Esercizi Relatività ristretta

[framelone96]

Riporto due esercizi di relatività, la teoria la so, ma non capisco bene come applicarla.

1. Qual è l’energia nel centro di massa (CM) di un sistema di due particelle
formato, nel laboratorio da un antiprotone con energia totale di 10 GeV e un
protone a riposo?

2. Una particella si muove con velocità (ux, uy) ed una seconda si muove con
velocità v lungo la direzione x della prima. Si determini v in modo tale che un
osservatore solidale con essa veda la componente uy inalterata.

(aggiungo modifiche sui miei tentativi di risoluzione): nel secondo esercizio ho provato a considerare le coordinate per un osservatore O e poi ricavare le coordinate per O' con le trasformazioni di Lorentz. Mi viene che v dev'essere uguale alla velocità della luce oppure uguale a zero. Probabilmente sto sbagliando qualcosa.

Per il primo esercizio invece devo considerare la conservazione dell'energia e della quantità di moto? ma il problema non parla di urti tra particelle quindi anche qui sto sbagliando il ragionamento

[Palliit]

Ciao e benvenuta/o sul forum.

Il Regolamento impone che tu esponga i tuoi tentativi di soluzione.

[framelone96]

Ciao! io ho provato a fare dei ragionamenti riguardo al 2 ho considerato due SDR: uno O solidale con la prima particella e O solidale con la seconda. Per determinare una velocità come richiesta, devo considerare forse un moto perpendicolare di una particella rispetto all'altra? perchè in tal caso le componenti uy coninciderebbero?

Per il primo problema invece pensavo di utilizzare la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell'energia ma siccome non si parla di urti non penso sia la strada corretta.

[Five]

Ciao. Il moderatore ti ha fatto presente la regola, per cui devi mostrare i tuoi tentativi. Io perciò non posso fare altro che darti qualche spiegazione, non risolvere l’esercizio per te.
Cominciamo dal secondo.
Hai un osservatore inerziale $(O,t,x,y)$ che consideriamo in quiete; come vedi ho aggiunto anche la coordinata spaziale y . Rispetto ad O, la particella si muove con velocità di componenti $(u_x, u_y)$ .
Hai un secondo OI , sia O’, che si muove rispetto ad O con velocità di modulo $v$ nella direzione dell’asse x di O. Il testo non dice se $vecv$ è concorde o discorde con $vecu_x$ , allora assumiamo che O’ vada incontro alla particella lungo x .
Quali sono le componenti $ u’_x, u’_y$ della velocità della particella rispetto ad O’ ? Devi fare la composizione relativistica delle componenti in O con la velocità $v$ . Esiste una formula anche per trovare $u’_y$.
Adesso, qual è la richiesta? Che la componente in direzione y resti la stessa, anche per O’ .

Ora mi fermo, se no il moderatore mi bastona

[Five]

Hai capito che cosa devi fare, per il secondo esercizio? Butta giù qualcosa.

Per il primo esercizio, ti spiego un po’ di roba.

Per prima cosa, la massa dell’antiprotone è uguale a quella del protone : $938 (MeV)/c^2 $ .
Chiamiamo $m_1$ la prima particella, di cui è data l’energia totale $E_1 = 10 GeV = 10000 MeV$ , e $m_2$ la seconda, che è in quiete nel laboratorio. Evidentemente $m_1$ si muove , poiché :

$E_1 = gamma_1m_1c^2 = K + m_1c^2$

dove $K$ è l’energia cinetica: $K= (gamma-1)m_1c^2$, e $m_1c^2$ è l’energia di quiete , pari a $938MeV$. Quindi puoi trovare $K$ e il fattore $gamma$ , e determinare la velocità di $m_1$ nel riferimento del laboratorio. Ma non so se occorre, vedremo.
LA particella $m_2$ invece è in quiete nel laboratorio e ha solo energia di riposo : $E_2 = m_2c^2 = 938 MeV$

Sai scrivere i 4-impulsi delle due particelle? E trovare il 4-impulso totale? LA norma del 4-impulso totale è invariante, quindi ha lo stesso valore anche nel riferimento del centro di massa. In questo riferimento, [che in RR è preferibile chiamare “riferimento del centro della quantità di moto" o anche $COM_f $ in inglese ( center of momentum frame) ] , la quantità di moto totale è uguale a zero :

$Sigma_ivecp_i = 0 $

Per ora mi fermo a questi suggerimenti.

[Five]

Visto che non sei in grado di scrivere nulla, oppure te ne freghi, continuo io. Ci potrebbe essere qualcuno a cui l’argomento interessa.

Nel riferimento del laboratorio, ciascuna particella ha 4-impulso :

$P_1 = (E_1/c, vecp_1)$
$P_2 = (m_2c, 0 ) $

poiché la particella 1 è in moto , la particella 2 è in quiete nel laboratorio.

Il 4-impulso totale vale : $ P = P_1+P_2 = ( E_1/c+ m_2c, vecp_1) $

LA norma di P , che è un invariante per cambiamento di riferimento, si trova come segue :

$P^2 = P*P = (E_1/c+ m_2c)^2 - p_1^2 = (E_1/c)^2 +(m_2c)^2 +2E_1m_2 - p_1^2 = (m_1c)^2 +(m_2c)^2 +2E_1m_2$

nell’ultimo passaggio, ho fatto la sostituzione : $ (E_1/c)^2 - p_1^2 = (m_1c)^2$ , che non è altro che la norma di $P_1$ .

Scriviamo ora le quantità dette nel riferimento COM ; le grandezze riferite al COM si indicano con un asterisco in alto. Abbiamo :

$P_1^\star = ((E_1^\star)/c, vecp_1^\star) $
$P_2^\star = ((E_2^\star)/c, -vecp_1^\star) $

come si vede, nel rif. COM la quantità di moto della particella 2 è l’opposta di quella della particella 1, perchè la loro somma vettoriale deve essere nulla.

Il 4-impulso totale nel COM è dato quindi da :

$P^\star = ((E_1^\star)/c +(E_2^\star)/c , 0 ) $ , che possiamo scrivere come $ (E^\star/c , 0 ) $

e poiché la norma del 4-impulso totale è invariante , deve essere :

$(P^\star)^2 = P^2 = (m_1c)^2 +(m_2c)^2 +2E_1m_2$

ma :$(P^\star)^2 = (E^\star/c)^2 $ , per cui in definitiva :

$ (E^\star/c)^2 = (m_1c)^2 +(m_2c)^2 +2E_1m_2$

da qui si può ricavare $E^\star$ , che è l’energia totale del sistema nel riferimento del centro di massa.

Domanda: l’energia totale nel COM sarà maggiore o minore di quella nel riferimento del laboratorio?

[framelone96]

Mi sto preparando per 3 esami, dei quali uno ha 16 crediti. Di relatività ho risolto negli ultimi 3 giorni ben 13 esercizi, le esercitazioni online sono finite pochi giorni prima. Mi scuso se non ho avuto modo di entrare nel forum materialmente per poter dare un'occhiata alle risposte. Nel frattempo i due problemi suddetti li ho risolti da sola, senza nessun aiuto. Nel primo ho usato le coordinate con i quadrivettori, il concetto di massa invariante nei due sistemi di riferimento e sono riuscita a risolverlo. Nel secondo ho usato la composizione delle velocità. Venirmi a dire che a me non interessa solo perché per un giorno non sono nemmeno riuscita a loggarmi data la quantità di studio a cui sono sottoposta mi sembra davvero inopportuno, visto che non mi conosci nemmeno. Veramente che maleducazione. Grazie lo stesso e buona giornata.

[Five]

Mi scuso se non ho avuto modo di entrare nel forum materialmente per poter dare un'occhiata alle risposte.

Bastava scrivere un mezzo rigo e dire: “Grazie per le risposte, ora sono molto occupata, ci guarderò”. Ti ho risposto la prima volta, contravvenendo alle norme del regolamento poiché tuoi tentativi di soluzione non se ne sono visti, la mattina presto del giorno 25. Ora siamo al 28 sera.

Nel frattempo i due problemi suddetti li ho risolti da sola, senza nessun aiuto. Nel primo ho usato le coordinate con i quadrivettori, il concetto di massa invariante nei due sistemi di riferimento e sono riuscita a risolverlo. Nel secondo ho usato la composizione delle velocità.

Buon per te che sei riuscita a risolverli da sola, segno che hai capito la materia. Ma dal tuo messaggio iniziale sembrava che non avessi idea di come fare. Poi hai avuto qualche buona ispirazione, si vede. E i miei suggerimenti ti sono certamente serviti. Spero che li abbia risolti nella maniera giusta, e lo spero per te, a me non cambia niente.

Venirmi a dire che a me non interessa solo perché per un giorno non sono nemmeno riuscita a loggarmi data la quantità di studio a cui sono sottoposta mi sembra davvero inopportuno, visto che non mi conosci nemmeno. Veramente che maleducazione. Grazie lo stesso e buona giornata.

Certo che non ti conosco, ma sai, qui il forum è bazzicato da tanti tipi strani, sconclusionati e a volte provocatori, che vogliono solo trollare, e l’argomento relatività si presta molto a voli di fantasia, per non dire altro.
Poi ci sono quelli che postano un esercizio , con mille dubbi e mille errori, e quando hanno ricevuto una risposta soddisfacente neanche rispondono per dire “grazie, ho capito” . Scompaiono nel nulla...
Non è certamente il tuo caso, e sei evidentemente stressata dal troppo studio. Prenditi qualche momento di pausa.

Fai attenzione però a dare del maleducato a chi ti sta aiutando, se vuoi frequentare questo forum. Cosí è proprio il modo sbagliato. E se hai qualcosa da obiettare sulle risposte ricevute, rivolgiti ai moderatori.

Ciao, in bocca al lupo per i tre esami.

[gugo82]

Moderatore: gugo82

@ Five: Framelone96 non ha alcun torto.
I tempi di discussione su un forum possono essere anche lunghi (dopotutto, il forum non è una chat) e perciò i tuoi commenti sono del tutto fuori luogo.
La prossima volta astieniti dal fare certe osservazioni sprezzanti.

Come risposta da parte tua sarebbe “bastato scrivere un mezzo rigo” di scuse, invece di un papiello in cui contestavi un’assenza di tre giorni.

La prossima volta mi aspetto più comprensione ed urbanità nei modi.
Grazie.

[Five]

CVD.
Non mi aspettavo altro da te, che pensi di essere sempre in cattedra e dare anche lezioni di comportamento. Io avrei gradito lezioni date ad altri in tempi passati, cosa che non è avvenuta. Five vuol dire cinque, perché da otto anni che bazzico il forum mi sono iscritto ben cinque volte, contare è il tuo mestiere.

Ma ora io non accetto il tuo commento. Non devo chiedere scusa a nessuno, poiché non ho fatto alcun apprezzamento sprezzante, leggi meglio e interpreta che cosa intendono le mie parole; anzi ho avuto grande pazienza, come sempre del resto nella lunga collaborazione col forum. Faccio i papielli che ritengo opportuni, e decido io solo quando. Non può venire qui la prima che capita e darmi del maleducato, dopo che oltretutto le ho pure risolto i due esercizi. Non va bene, per me. Ma giustifico la ragazza perché è troppo stressata dallo studio. Non giustifico invece te.

Ora quindi fa’ ciò che vuoi, bannami pure, non ho bisogno dei tuoi rimbrotti e del forum. Forse il sito trae vantaggio dagli innumerevoli click che riceve, e che ha ricevuto in passato grazie a tutti e un poco anche a me!
io non ho avuto alcun vantaggio, anzi insulti e minacce, come ben sai, sopportati con grande pazienza e dignità. Tieni presente che è facilissimo reiscriversi, basta farsi una casella di posta nuova e registrarsi da lì.

Buona giornata.