Condizioni di equilibrio di un'asta

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Ciao a tutti, spero stiate passando una bella domenica. Ora che l'anno scolastico è ormai concluso, ho ritrovato il tempo per studiare Fisica su un testo a mio parere ben fatto ("L'indagine del mondo fisico", Bergamaschini-Marazzini-Mazzoni). C'è un problema sull'equilibrio di un corpo rigido di cui nel libro non si trovano le soluzioni, quindi chiedo conferma a voi che siete sempre gentilissimi!

Tento di descrivere la figura il meglio possibile.

Un'asta, con l'estremità sinistra fissata a un supporto verticale, presenta 17 gancetti, due dei quali in corrispondenza delle estremità, ciascuno posto a una distanza \(l\) dal successivo. Al sesto gancetto a partire da sinistra sono appesi 4 pesetti di massa \(m\), mentre al quarto a partire da destra ne sono appesi 3 di massa identica. All'ultimo gancio, infine, è annodato un filo inestensibile che forma un angolo \(\alpha\) con la verticale e, attraverso una carrucola ideale, sorregge 7 dei soliti pesetti. Sapendo che la massa dell'asta è pari a \(3m\), calcolare l'ampiezza dell'angolo \(\alpha\) che mantiene l'asta in equilibrio.

Prima di tutto ho calcolato i momenti relativi alle quattro forze agenti sull'asta, rispetto all'estremità fissata:

\( M_1=-F_1b_1=-4mg\cdot5l \)
\( M_2=-F_2b_2=-3mg\cdot8l \)
\( M_3=-F_3b_3=-3mg\cdot13l \)
\( M_4=F_4b_4=F_4\cdot16l \)

La condizione di equilibrio, aggiungendo nel bilancio la forza incognita F applicata all'ultimo gancetto, è quindi:

\( -20mgl-24mgl-39mgl+16F_4l=0 \)

da cui:

\( F_4=\dfrac{83mg}{16} \)

A questo punto, dato che il filo sorregge un peso \( P=7mg \) e la carrucola trasmette completamente la forza all'asta, si ha che:

\( F_4=P\cos (\alpha) \)

e quindi:

\( \alpha = \arccos \dfrac{F_4}{P} = \arccos \dfrac{83}{112} \approx 42,18^{\text{o}} \)

Il procedimento ha senso? Grazie mille in anticipo.