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Buongiorno,
una spira percorsa da corrente dovrebbe compiere delle oscillazioni approssimabili ad un moto armonico in un campo magnetico

Si sa che
$\vecM=\vecmxx\vecB$
E che
$\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$
Quindi
$\vecmxx\vecB=I\vecalpha$
Da cui
$mBsintheta=Ialpha=I(d^2theta)/dt^2$
Per piccole oscillazioni vale che $sintheta=theta$, quindi
$mBtheta=I(d^2theta)/dt^2->(d^2theta)/dt^2-(mB)/Itheta=0$
Che non è l'equazione di un moto armonico ($(d^2x)/dt^2+kx=0$)

Non capisco cosa sbaglio. Sul libro da cui studio viene introdotto un segno meno (viene riportato $M=-mBsintheta$) che però non riesco sa giustificare formalmente. Sul libro sta scritto che il meno è dovuto al fatto che la forza sia di richiamo, ma questa non mi sembra una giustificazione formale ma qualitativa. Il momento dovrebbe essere $M=mBsintheta$. D'altronde $\vecM$ e $\vecalpha$ hanno lo stesso verso. Non riesco proprio a capire da dove esca quel meno. Spero di essermi spiegato al meglio.

Grazie in anticipo a chi risponderà

Tutto dipende da come viene considerato quell'angolo $\theta$.

Se non posti un'immagine delle convenzioni adottate nella geometria del problema è impossibile risponderti.

Ad ogni modo, ipotizzando che $\theta$ sia l'angolo fra $\vec B$ e $\vec m$, giacenti per esempio sul quadrante yz, il momento meccanico $\vec M$, in queste ipotesi, parallelo a $\hat x$, sarà sempre tale da ridurre $\theta$ e di conseguenza l'accelerazione angolare sarà negativa.

Sì $theta$ è l'angolo fra $\vecm$ e $\vecB$. Ma l'equazione del moto armonico dovrebbe essere sempre quella. I vettori sono quelli in qualsiasi sistema di riferimento e $\vecalpha$ e $\vecM$ dovrebbero avere lo stesso verso. Non riesco a capire. Ti allego una foto del disegno che sta sul libro

Come dicevo, se quello è l'angolo

$\vecM= -I\vecalpha$

Damiano77 ha scritto:... D'altronde $\vecM$ e $\vecalpha$ hanno lo stesso verso.

No, hanno versi opposti.

Potresti spiegarmi perchè?
Il momento angolare viene definito come $\vecL=I\vecomega$. Quindi dovrebbe essere $\vecM=(d\vecL)/dt=I\vecalpha$

Ok, possiamo vederla anche in quel modo, ora però scrivi $\vec \omega$ e $\vec \alpha$ in funzione dell'angolo $\theta$.
Puoi per esempio ipotizzare $\vecM =M \hat z=m B \sin\theta \ \hat z $, con asse z verticale corrispondente all'asse di rotazione della spira.

Se scrivo $alpha$ come $f(theta)$ allora
$alpha=(mB)/I*theta$
Considerato un riferimento destrorso con l'asse delle x parallelo al campo e l'asse delle z parallelo all'asse di rotazione, questa equazione mi dice che $alpha$ è negativo (dato che $theta$ lo è) . In realtà è positivo perchè $\vecalpha$ è concorde con $\vecM$. Avendo $\vecM$ verso concorde con quello dell'asse z, la componente $M$ è positiva. Di conseguenza anche la componente $alpha$ deve essere positiva. Allora devo aggiungere un meno
$alpha=-(mB)/I*theta$

È giusto il ragionamento?

Intendevo dire che, scegliendo quell'angolo, avrai

$\vec \omega=-\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ \hat z$

$\vec \alpha=-\frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ \hat z$

Non riesco ancora a capire perché dici che velocità ed accelerazione abbiano verso negativo rispetto al riferimento considerato

Scritte così,

$\vec \omega= \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\ (-\hat z)$

$\vec \alpha= \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d} t^2} \ (-\hat z)$

ti sembra più chiaro