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non riesco a trovare una dimostrazione chiara di quanto segue: tutte le macchine reversibili che operano tra gli stessi due serbatoi hanno lo stesso rendimento

potreste darmi una mano?

Nella dimostrazione che non esiste una macchina con rendimento superiore a quella di Carnot (R) si ipotizza, per assurdo, che tale macchina (S) esista.
Quindi dovrebbe risultare $eta_R lt eta_S$ e pertanto, a parità di calore entrante $Q_1$ dalla sorgente più calda a temperatura $T_1$,

$Q_(2R) > Q_(2S)$
$L_(R) < L_(S)$


Poichè R è una macchina reversibile si può far funzionare R da macchina frigorifero spendendo un lavoro $L_(R)$ per estrarre una quantità di calore $Q_(2R)$ da $T_2$.
Pertanto verrebbe re-immessa una quantità $Q_1$ dentro la sorgente a $T_1$.
Il risultato netto delle due macchine prese assieme sarebbe quello di assorbire una quantità di calore $Q_(2R) - Q_(2S) > 0$ dal solo termostato $T_2$ ottenendo un lavoro netto $L_(S) - L_(R)>0$, in contrasto con il postulato di Kelvin.
Quindi deve essere $eta_R ge eta_S$.

Se prendiamo adesso due macchine reversibili $RA$ e $RB$ funzionanti tra $T_1$ e $T_2$, facendo funzionare prima una alla rovescia come frigorifero e l'altra diretta, e poi invertendo, ripetendo lo stesso ragionamento di cui sopra, si avrà:

$eta_(RA) ge eta_(RB)$
$eta_(RA) le eta_(RB)$

da cui consegue $eta_(RA) = eta_(RB)$.

giantmath ha scritto:non riesco a trovare una dimostrazione chiara di quanto segue: tutte le macchine reversibili che operano tra gli stessi due serbatoi hanno lo stesso rendimento

potreste darmi una mano?

In realtà qualunque macchina reversibile che scambia calore con 2 sole sorgenti deve seguire un ciclo di Carnot, altrimenti non sarebbe reversibile o non scambierebbe calore solo con 2 sorgenti.
Quindi alla fine per la domanda specifica, se per "opera" si intende che scambia solo con quelle sorgenti, allora basta dimostrare che tutte le macchine di Carnot reversibili tra due temperature hanno stesso rendimento (che è ovvio dall'analisi di un ciclo di Carnot, anche se possono sorgere altri dubbi, se ne parla qui).

Diverso è invece l'enunciato generale del teorema di Carnot per cui qualunque altra macchina che scambia con quelle sorgenti (quindi anche non reversibile) debba avere un rendimento inferiore o al massimo uguale a quello di una macchina di Carnot reversibile che lavora tra quelle sorgenti.