Matematicamente.it

C'è un altro problema che mi dà del filo da torcere. Qui probabilmente conta la mia scarsa abilità matematica.
Si tratta di trovare il valore del campo gravitazionale prodotto da un anello massiccio, in un punto dell'anello stesso.
Procedo così. Centro l'anello nell'origine, voglio trovare il campo nel punto $P$ in cui l'anello interseca l'asse $y$. Condidero un elemento $ds$ dell'anello, che forma un angolo $theta$ con l'asse $y$. Voglio integrare gli effetti dei $ds$ su $P$, con $theta$ che varia fra $0$ e $pi$. Considero solo la componente $y$, dato che la componente $x$ è compensata dall'altra metà dell'anello.
La distanza di $P$ da $ds$ è $2 sin (theta/2)$ (considero il raggio unitario). Quindi, tralasciando le costanti, l'effetto di $ds$ su $P$ (il modulo del vettore) è $1/(4sin^2(theta/2))$.
Di questo vettore interessa la componente $y$, il modulo va quindi moltiplicato per il coseno dell'angolo fra questo vettore e l'asse $y$. Questo angolo è $(pi - theta)/2$.
In conclusione c'è da integrare $int cos((pi - theta)/2)/(4sin^2(theta/2))d theta$, fra $0$ e $pi$.
Poi direi che $cos((pi-theta)/2)$ coincide con $sin(theta/2)$ per cui si semplifica e diventa $int 1/(4sin(theta/2))d theta$
Infine, con un cambio di variabile $alpha = theta/2$, dovrebbe diventare $int 1/(2sin(alpha))dalpha$, integrato fra $0$ e $pi/2$
Beninteso non ci provo neppure, ma il fatto è che, dato in pasto a Wolfram Alpha, mi dice che l'integrale diverge, cosa non mi aspetto proprio. Mi sapete dire dove sta lo sbaglio?

Se aiuta: stai integrando la cosecante, una primitiva della quale è \(\text{arctanh}(\cos t)\); questa è divergente in $0$. Dato che essa è definita mediante dei logaritmi, attorno a zero si sviluppa come una cosa del tipo \(K+\log t+O(t^2)\).

Va bene. Ma allora, evidentemente, non è quella la funzione da integrare...

Messo in termini di potenziale (gravitazionale) credo che sia lo stesso problema che si ha quando si cerca di calcolare il potenziale di una anello carico e quindi la sua capacità.

Il calcolo va bene fino a che si considerano elementi lontani da quello in cui si vuole trovare il valore. Quando ci sia avvicina invece la distanza si riduce e il potenziale tende all'infinito e quindi il calcolo diverge.

In pratica in questi casi non si può prescindere dal considerare lo spessore dell'anello. Supponiamo che "a" sia il raggio interno e "b" il raggio dell'anello.
Conviene allora dividere l'anello in due parti punti distanti $r > Delta$ e punti distanti $r < Delta$ dove $Delta$ è un valore tale che $a text(<<) Delta text(<<) b$.

Per i punti $r > Delta$ si può usare il calcolo come impostato, ovvero trascurando lo spessore dell'anello, mentre per $r < Delta$ si considera il pezzettino in questione come un cilindro circolare retto di raggio "a" e altezza $Delta$ e utilizzare il potenziale (campo) relativo.

Quando si mettono assieme i due contributi il termine $Delta$ scompare e il risultato in termini di potenziale risulta dipendente da $ln(b/a)$.

In alternativa dovresti ottenere lo stesso risultato imponendo l'integrazione su tutto l'anello inteso come linea di mezzeria ma considerando il punto sul quale calcoli il campo posto sulla superficie a distanza "a" dalla mezzeria stessa.

Ah, giusto. Un anello di sezione nulla implica una densità infinita. Grazie della dritta