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Ciao a tutti, devo dimostrare la validità della seguente analisi vettoriale, come posso procedere?

$ \nabla \cdot (\Phi \nabla \Psi ) = \nabla \Phi \cdot \nabla \Psi + \Phi \nabla ^2 \Psi $

$ \Phi $ e $ \Psi $ sono generici campi scalari

Io ho fatto le derivate di tutta la parte di destra, ma come concludo il ragionamento collegandomi alla prima parte dell'equazione?
Se avete proposte sul procedere diversamente le accolgo volentieri.

Alice8 ha scritto:Ciao a tutti, devo dimostrare la validità della seguente analisi vettoriale, come posso procedere?

$ \nabla \cdot (\Phi \nabla \Psi ) = \nabla \Phi \cdot \nabla \Psi + \Phi \nabla ^2 \Psi $

$ \Phi $ e $ \Psi $ sono generici campi scalari

Io ho fatto le derivate di tutta la parte di destra, ma come concludo il ragionamento collegandomi alla prima parte dell'equazione?
Se avete proposte sul procedere diversamente le accolgo volentieri.

A sinistra puoi procedere cosi'.
Dovrebbe essere la stessa cosa che hai ottenuto esplicitando i calcoli a destra.

$\nabla \Psi = ((\del \Psi_1)/(\del x_1),(\del \Psi_2)/(\del x_2),..., (\del \Psi_n)/(\del x_n) )$

$\Phi \nabla \Psi = (\Phi(\del \Psi_1)/(\del x_1),\Phi(\del \Psi_2)/(\del x_2),..., \Phi(\del \Psi_n)/(\del x_n) )$

$(\del (\Phi \nabla \Psi)_k)/(\del x_k) = (\del \Phi_k)/(\del x_k)(\del \Psi_k)/(\del x_k)+\Phi(\del^2 \Psi_k)/(\del x_k^2)$

$\nabla \cdot (\Phi \nabla \Psi ) = \sum_{k =1}^n (\del (\Phi \nabla \Psi)_k)/(\del x_k) = ((\del \Phi_1)/(\del x_1)(\del \Psi_1)/(\del x_1)+(\del \Phi_2)/(\del x_2)(\del \Psi_2)/(\del x_2)+...+ (\del \Phi_n)/(\del x_n)(\del \Psi_n)/(\del x_n)) + (\Phi(\del^2 \Psi_1)/(\del x_1^2)+\Phi(\del^2 \Psi_2)/(\del x_2^2)+...+ \Phi(\del^2 \Psi_n)/(\del x_n^2) )$