1) Abbiamo definito il tensore $T_(ab)$ per la fluidodinamica e per l'elettromagnetismo. Sono definizioni univoche? Ad esempio, per l'elettromagnetismo, se l'avessi definito in modo diverso, mi porterebbe inequivocabilmente al fatto che le equazioni del moto (leggi di Maxwell) sarebbero diverse? Inoltre come mai è simmetrico il tensore?
2) Come mai questo tensore è strettamente dipendente dalla metrica? E come mai è così dipendente dal tensore di Riemann (tramite l'equazione di campo di Einstein)?
1. Nella teoria della relatività il tensore è simmetrico.
In sostanza è simmetrico perchè non è anti-simmetrico, ma questo non è proprio corretto, è simmetrico perchè la relazione anti-simmetrica è un sotto-insieme della relazione simmetrica e quindi le relazioni anti-simmetriche sono una generalizzazione delle relazioni simmetriche. Infatti dire che 2 elementi sono simmetrici a=b e b=a equivale a parlare di coppia non-ordinata
https://en.wikipedia.org/wiki/Unordered_pairparlare di relazioni anti-simmetriche equivale invece a parlare di coppie ordinate in cui a=b ma b≠a a meno che a = b
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pairLa ragione per cui le relazioni anti-simmetriche sono un sotto-insieme
e del perchè esistono le relazioni simmetriche è richiesto dall' Assioma della coppia
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_pairingDati due insiemi, c'è un insiemi cui membri sono esattamente i due insiemi datiQuesto è possibile grazie all'assiome dell'estensionabilità
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionalityQuindi prima c'è
la necessità di un ordine (relazione antisimmetrica come generalizzazione delle r.simmetriche) e solo dopo la non-necessità di ordine (relazione simmetrica come specificazione), questo grazie all'assioma della coppia.
Pensandoci bene il tensore simmetrico è definibile come un tensore 'virtuale', cioè grazie all'assioma della coppia non è piu necessaria la presenza di un (pre)ordine, cioè è basta che sia un ordered set
http://mathworld.wolfram.com/OrderedSet.htmlma come condizione sufficiente
ma non come condizione necessaria
https://en.wikipedia.org/wiki/Necessity_and_sufficiencysimmetrico: sufficiente, ma non necessario ('virtuale')
anti-simmetrico: necessario, ma auto-sufficiente (reale)
2. Perchè è dipendente dalla metrica?
metric tensor is an example of a tensor field3. Perchè è così dipendente dal tensore di Riemann ?
Per via della rappresentazione che si usa. Ad esempio
https://math.stackexchange.com/question ... a-manifoldil gruppo di matrici forma una varietà (manifold), ma mai uno spazio euclideo...chiediti perchè restiamo nella geometria non-euclidea..