Messaggioda david_e » 08/12/2005, 11:03

Per il secondo attenzione che la soluzione e':

$y=c_1 + c_2 e^(-(\lambda)/mt) $ + integrale particolare

Visto che una volta l'hai scritto col + e una volta col - penso che si tratti solo di un errore di battitura....

Nella soluzione finale hai sbagliato a copiare la soluzione particolare:

$ q(t)=(mg)/\lambda t + c $

Per le tre costanti.

1.
La $c$ la puoi benissimo far assorbire dalla $c_1$ cosi' ne elimini 1a

2.
Imponendo $y(0)=0$ (scegliendo appositamente il sistema di riferimento) si ha:

$c_1+c_2=0$

3.
Imponendo $y'(0)=0$ (e qui pero' dovrebbe esserci scritta nel testo del problema la $v_0$) si trova:

$-(\lambda)/m c_2 + (mg)/\lambda=0$

Da queste due equazioni puoi ricavare $c_1$ e $c_2$......
david_e
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Messaggioda Camillo » 08/12/2005, 12:21

Primo problema .
Chiedi che significato ha la costante $c_2$.
Poichè la parte : $c_1cos beta*t+c_2*sin beta*t $ la puoi anche scrivere come :
$c sin(beta*t+fi )$ , essendo fi un angolo di fase [ in parole povere la combinazione lineare di una sinusoide e una cosinusoide di egual frequenza è ancora una sinusoide ( o cosinusoide, è lo stesso ) con un opportuno sfasamento fi .
In formule : $ c_1cos beta*t +c_2 sin beta*t = c sin(beta*t +fi)$ e si trova subito che :
$ -c_2/c_1 = tan(fi) $.
Quindi il rapporto tra le costanti è legato allo sfasamento della sinusoide .
Vedo poi che hai esaminato solo il caso di discriminante della equazione caratteristica < 0 , cioè il caso in cui
$ b < 2sqrt(mk) $ , cioè forza smorzante non troppo grande rispetto alla massa e alla costante elastica della molla e infatti la soluzione indica oscillazioni smorzate.
Se invece ti metti nella condizione limite di $ b = 2sqrt(mk) $ , cioè di forza smorzante più elevata allora ottieni come soluzione (la equazione caratteristica ha una radice doppia pari a $ -b/2m = -sqrt(k/m) $ ):

$ x(t) = c_1e^(-(sqrt(k/m))*t )+c_2* t* e^(-(sqrt(k/m))*t $ e quindi essendo b abbastanza significativo non hai oscillazioni ma subito smorzamento esponenziale.

Camillo
Ultima modifica di Camillo il 08/12/2005, 12:35, modificato 3 volte in totale.
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Messaggioda giuseppe87x » 08/12/2005, 12:32

Ok grazie ad entrambi.
@david_e
In effetti nel primo ho fatto qualche errore di battitura...
giuseppe87x
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