Moto smorzato

[giuseppe87x]

Ora come procedo per trovare la soluzione dell'equazione differenziale? Devo distinguere i tre casi del discriminante? Quali sono le condizioni che mi permettono di stabilire i valori delle due costanti di integrazione?

[Marco83]

Se cerchi le soluzioni in campo complesso puoi evitare di distinguere i tre casi. La naturale separazione nei tre casi avviene utilizzando a posteriori la formula di Eulero.
Per determinare le due costanti di integrazione devi usare le condizioni iniziali riguardo posizione e velocità

[giuseppe87x]

Ok ma quale è la formula di Eulero?

[giuseppe87x]

forse $y=e^(\alphax)(c_(1)cos\betax+c_(2)sin\betax)$?

[Camillo]

Certamente devi distinguere i tre casi del discriminante dell'equazione caratteristica perchè cambia molto la forma della soluzione $x = x(t) $.
a) Delta > 0 , allora hai 2 valori reali e distinti,$ k_1 , k_2 $ come soluzione dell'equazione caratteristica il che porta a una soluzione dell'equazione differenziale così fatta : $x = c_1e^(k_1t) +c_2 e^(K_2t)$ naturalmente se k_1 , k_2 sono negativi la soluzione tende asintoticamente a 0 ; se invece sono positivi la soluzione "esplode" per t che tende a $+00 $.

b) Delta = 0 ; sia $k_1 $ soluzione doppia allora si avrà :
$x = c_1e^(k_1t)+c_2te^(k_1t)

c) se delta < 0 allora le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate del tipo :
$ a+-ib $ con soluzione $ x = e^(at)*[A cos bt +B sin bt ]$; naturalmente se a < 0 la soluzione è una sinusoide smorzata , se a > 0 si ha una sinusoide che esplode..

Per determinare le due costanti basta imporre 2 condizioni iniziali, ad esempio
la posizione iniziale : $x(0) = x_0 $
la velocità iniziale : $x'(0) = x'_0$.

Camillo

[david_e]

Formula di Eulero:

$ e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta $

[giuseppe87x]

Ok grazie. Però in teoria la soluzione dell'equazione differenziale dovrebbe essere la funzione x=f(t) del moto armonico smorzato. Cmq oggi non ho avuto tempo...domani proverò con le indicazioni che mi avete dato...
Ciao

[Camillo]

Il caso c) da me indicato , se a < 0, è proprio un moto armonico smorzato.

Camillo

[giuseppe87x]

Allora date un'occhiata a quello che ho combinato.


Cosa rappresenta $c_(2)$ dal punto di vista fisico?

[giuseppe87x]

Mentre ci siamo mi dareste un'occhiata anche a questo?
Dovrei trovare la funzione y=f(t) per un corpo in caduta libera.


Come faccio ora a determinare le tre costanti?
Grazie