Formulazione lagrangiana dell'equazione di Schroedinger?

[dissonance]

Stavo cercando di riflettere sulle differenze tra l'equazione di Klein-Gordon per un campo scalare reale \(\phi(x)\):

\[(\square + m^2)\phi=0\]

e l'equazione di Schroedinger per una funzione d'onda \(\psi(x)\):

\[\left(i \partial_t + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\psi=0.\]

A vista, la prima è Lorentz invariante mentre la seconda no. E perché è così?

L'equazione di KG proviene da una (densità di) Lagrangiana:

\[\mathcal{L}= \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi -m^2\phi^2)\]

nel senso che è l'equazione di Eulero-Lagrange del funzionale dell'azione ad essa associato. Chiaramente questa Lagrangiana è simmetrica rispetto alle trasformazioni di Lorentz, fatto che si riflette nell'analoga simmetria per l'equazione di KG.

Possiamo fare un discorso analogo per Schroedinger? Questa equazione può essere ottenuta variando un funzionale dell'azione? Se si potesse fare un discorso del genere, poi potremmo analizzare le simmetrie del funzionale dell'azione e evidentemente NON troveremo la simmetria rispetto a Lorentz.

[yoshiharu]

Possiamo fare un discorso analogo per Schroedinger? Questa equazione può essere ottenuta variando un funzionale dell'azione? Se si potesse fare un discorso del genere, poi potremmo analizzare le simmetrie del funzionale dell'azione e evidentemente NON troveremo la simmetria rispetto a Lorentz.

Si puo' scrivere una lagrangiana dalla quale si ricava l'eq. di Schroedinger, ed in effetti questa cosa si usa in diversi casi nella fisica dello stato condensato (Bose-Einstein, superfluidi, superconduttori,...), e si usa anche la versione nonlineare della lagrangiana. In rete si trovano diverse cose a riguardo, anche se forse l'accento e' piu' sull'applicazione che sulla speculazione teorica.
Ed effettivamente ottieni una lagrangiana non Lorentz-invariante

[dissonance]

Grazie yoshiharu, ho fatto una piccola ricerca ed ho trovato, per esempio qui:

http://theoretical-physics.net/0.1/src/ ... adial.html

[dissonance]

Però, adesso mi è venuto un dubbio, lo propongo.

Confrontare l'equazione di Schroedinger e quella di Klein-Gordon ha senso?

Sul testo di Folland che sto leggendo si fa così: "siccome l'equazione di Schroedinger non è Lorentz invariante, non ci va bene per una teoria relativistica, e allora facciamo questi due conticini e salta fuori KG". Hm. E però la variabile dinamica in Schroedinger è una funzione d'onda, ovvero una rappresentazione dello stato di un sistema ad una particella, mentre in KG (a quanto ho studiato nel corso di fisica teorica) la variabile dinamica è un campo, che è un sistema con infiniti gradi di libertà.

Ha senso, dunque, confrontare le due equazioni?

[alephy]

Cosa intendi per "confrontare le due equazioni"? L'equazione di Schroedinger permette di interpretare le sue soluzioni come probabilità, in quanto il loro modulo quadro deve soddisfare un'equazione di continuità. Al contrario, le soluzioni dell'equazione di KG non possono essere interpretate come densità di probabilità, tuttavia le soluzioni di entrambi le equazioni possono essere considerati come dei campi deducibili da due differenti azioni.

[yoshiharu]

Però, adesso mi è venuto un dubbio, lo propongo.

Confrontare l'equazione di Schroedinger e quella di Klein-Gordon ha senso?

Sul testo di Folland che sto leggendo si fa così: "siccome l'equazione di Schroedinger non è Lorentz invariante, non ci va bene per una teoria relativistica, e allora facciamo questi due conticini e salta fuori KG". Hm. E però la variabile dinamica in Schroedinger è una funzione d'onda, ovvero una rappresentazione dello stato di un sistema ad una particella, mentre in KG (a quanto ho studiato nel corso di fisica teorica) la variabile dinamica è un campo, che è un sistema con infiniti gradi di libertà.

Non so se ci hai mai pensato, ma puoi fare la seconda quantizzazione anche dell'equazione di Schroedinger.
In effetti lo puoi fare virtualmente per qualunque equazione lineare. E poi puoi lavorare anche con i termini nonlineari, anche se ovviamente trattandoli come perturbazioni. Tutto quello che ti serve e' una espansione in modi normali (e.g. la serie di Fourier, ma in altri casi puoi usare qualunque base, tipo le autofunzioni dell'atomo di idrogeno, per dire), e sapere che tipo di particelle devono essere (cioe' quali commutatori devi imporre sui coefficienti dei modi normali, che promuovi ad operatori di creazione/distruzione).
Dai un'occhiata anche semplicemente al link di wikipedia.
(Ovviamente lo trovi anche sulla maggiorparte dei testi di QFT).

[Cmax]

Storicamente, le equazioni di S. e di KG sono un adattamento operatoriale delle usuali energie nella meccanica newtoniana e relativistica. Anzi, secondo la vulgata, Schroedinger prima tentò con la KG, di cui non riuscì però a ricondurre le soluzioni ad un'ampiezza di probabilità, necessaria per l'idea di analogia ondulatoria che stava perseguendo, e quindi la abbandonò in favore di quella non relativistica, con il successo che conosciamo. Sono quindi due equazioni costruite (con le rispettive formulazioni variazionali) per analogia (metodo in genere errato, ma quando va bene, va bene sul serio) su due teorie classiche, i.e. non quantistiche, di cui ereditano il comportamento sotto le trasformazioni di Lorentz, e quella newtoniana naturalmente non è invariante.

[dissonance]

Non so se ci hai mai pensato, ma puoi fare la seconda quantizzazione anche dell'equazione di Schroedinger.
In effetti lo puoi fare virtualmente per qualunque equazione lineare. E poi puoi lavorare anche con i termini nonlineari, anche se ovviamente trattandoli come perturbazioni. Tutto quello che ti serve e' una espansione in modi normali (e.g. la serie di Fourier, ma in altri casi puoi usare qualunque base, tipo le autofunzioni dell'atomo di idrogeno, per dire), e sapere che tipo di particelle devono essere (cioe' quali commutatori devi imporre sui coefficienti dei modi normali, che promuovi ad operatori di creazione/distruzione).

Eh si, in effetti questa osservazione è illuminante, ti ringrazio tanto (ma ringrazio anche gli altri che sono intervenuti nella discussione!).

[newton_1372]

L'equazione di Schrodinger vale sempre e comunque. Per equazione di Schrodinger intendo quella scritta come
$$H\psi = ihbar \frac{\partial \psi}{\partial t}

Quello che forse rende non Lorentz-invariate l'equazione, è dovuto al fatto che scrivi
$$H=p^2/(2m)+V(x)$$
Se sostituisci a $p^2$ l'impulso relativistico, e non (p=-ih\partial_x$, tutto diventa Lorentz-Invariante

[dissonance]

L'equazione di Schrodinger vale sempre e comunque. Per equazione di Schrodinger intendo quella scritta come
$$H\psi = ihbar \frac{\partial \psi}{\partial t}

Quello che forse rende non Lorentz-invariate l'equazione, è dovuto al fatto che scrivi
$$H=p^2/(2m)+V(x)$$
Se sostituisci a $p^2$ l'impulso relativistico, e non (p=-ih\partial_x$, tutto diventa Lorentz-Invariante

Sono d'accordo, penso che ragionando così si finisce per riscoprire l'equazione di Klein Gordon. Se uno impone che l'equazione sia del primo ordine nel tempo riscopre l'equazione di Dirac. (PS Le formule nel tuo post sono illeggibili)