Stavo cercando di riflettere sulle differenze tra l'equazione di Klein-Gordon per un campo scalare reale \(\phi(x)\):
\[(\square + m^2)\phi=0\]
e l'equazione di Schroedinger per una funzione d'onda \(\psi(x)\):
\[\left(i \partial_t + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\psi=0.\]
A vista, la prima è Lorentz invariante mentre la seconda no. E perché è così?
L'equazione di KG proviene da una (densità di) Lagrangiana:
\[\mathcal{L}= \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi -m^2\phi^2)\]
nel senso che è l'equazione di Eulero-Lagrange del funzionale dell'azione ad essa associato. Chiaramente questa Lagrangiana è simmetrica rispetto alle trasformazioni di Lorentz, fatto che si riflette nell'analoga simmetria per l'equazione di KG.
Possiamo fare un discorso analogo per Schroedinger? Questa equazione può essere ottenuta variando un funzionale dell'azione? Se si potesse fare un discorso del genere, poi potremmo analizzare le simmetrie del funzionale dell'azione e evidentemente NON troveremo la simmetria rispetto a Lorentz.