Il moto circolare uniforme

[Falco5x]

Faussone , Falco ,
io ci tengo , e ci tenevo, ad evidenziare che non è il vettore velocità angolare a determinare l'asse di rotazione . E l'ho fatto con tre esempi , semplici ma signficativi . E il fatto che abbia preso esempi di moto piano non c'entra nulla , è solo per semplicità .
MA più tardi , o domani forse , tornerò sull'argomento .

Il vettore velocità angolare non determina l'asse, ma cio non toglie che debba essere per forza un vettore e non uno scalare.
La tesi che sostieni, cioè che la velocità angolare possa essere considerata uno scalare, francamente la trovo indifendibile perché mi sembra facile da confutare.
Ti faccio un esempio molto semplice.
Prendiamo un sistema cartesiano tridimensionale inerziale e prendiamo in esso un corpo rigido con centro di massa fermo e situato sull'origine degli assi.
Se ti dico: "il corpo rigido ruota con velocità angolare costante di 2 rad/s", ti basta come informazione su come si muove il corpo? se la risposta è SI, allora la velocità angolare è uno scalare, se la risposta è NO allora non è uno scalare.
Direi che la risposta è scontata.
Ciao.

[navigatore]

.... Il vettore velocità angolare non si pretende che dipenda da un punto di applicazione specifico, le sue componenti sono indipendenti dal perno siamo d'accordo....

OH, finalmente , ecco un punto su cui siamo d'accordo ! Ma non mi sembrava che nei tuoi interventi del 13 Marzo e del 15 Marzo , tu esprimessi proprio questa idea ....Se poi ho capito male io ( può essere ...) chiedo venia . Però questa indipendenza , non vale solo nell'esempio del disco che rotola su una retta , e quindi il moto è piano !

.... però sono pur sempre componenti perché nel caso generale sono 3, quindi la grandezza è vettoriale

Certo , se voglio complicarmi la vita , anche nel caso del disco prendo un riferimento diverso da quello assunto , rispetto al quale devo allora necessariamente considerare il vettore velocità angolare e le sue tre componenti , poichè i coseni direttori saranno diversi dai semplici valori (0,0,1) . Ma è solo una complicazione matematica , poichè so già la direzione degli assi di rotazione , sia quelo istantaneo ( che passa per C) sia un qualunque altro , che passa per un centro di rotazione diverso , a seconda dell'osservatore .

.... ma se nessuno prefissa su quale piano debba avvenire la rotazione allora è necessario esprimere 3 scalari, ovvero un vettore, per definire la velocità angolare, altrimenti manca l'informazione dell'orientamento e quindi del piano di rotazione nello spazio.

No ,no, un momento , questo discorso, per me che sono notoriamente duro di comprendonio, è nebuloso .Che vuol dire " manca l'informazione dell'orientamento" ? Un moto è determinato da forze e momenti , a meno che non sia rettilineo uniforme in un riferimento inerziale . Gli assi istantanei d irotazione possono variare , nel caso più generale ( vedi sotto)

La tesi che sostieni, cioè che la velocità angolare possa essere considerata uno scalare, francamente la trovo indifendibile perché mi sembra facile da confutare.
Prendiamo un sistema cartesiano tridimensionale inerziale e prendiamo in esso un corpo rigido con centro di massa fermo e situato sull'origine degli assi.
Se ti dico: "il corpo rigido ruota con velocità angolare costante di 2 rad/s", ti basta come informazione su come si muove il corpo? se la risposta è SI, allora la velocità angolare è uno scalare, se la risposta è NO allora non è uno scalare.
Direi che la risposta è scontata.

Falco, qui siamo al solito gioco , di far dire agli altri cose che non hanno detto ? Ho semplicemente detto che per me la velocità angolare è innanzitutto uno scalare ; poi è chiaro che devi metterlo su un asse , il vettore velocità angolare ! E poi ho anche aggiunto : il vettore velocità angolare NON determina la posizione dell'asse , come mi sembra di aver capito da tuoi precedenti interventi ! Ma , ti ripeto , sarà colpa dell'incipiente Alzheimer , io sono duro di comprendonio...

Vuoi parlare del moto di corpi rigidi ? Bene , parliamone :come avviene il moto più generale di un corpo rigido ?
Stabiliamo un osservatore , che definiamo "fisso" , con un suo riferimento $XYZ$ , Un corpo rigido , in moto rispetto ad esso , può avere :

1) un asse fisso . E allora non ci sono Santi : una volta determinato il valore scalare di $\omega$ , il vettore $\vec\omega$ lo vai a mettere su quell'asse . In più, il corpo potrebbe anche scorrere sull'asse , ma questo è un moto traslatorio.
2) un punto fisso . Allora ti serve qualche altra informazione : l'asse , appunto , sul quale vai a mettere $\vec\omega$ , di cui già conosci il valore . Ci sono casi notevoli di moti con un punto fisso : ad esempio quello di una trottola simmetrica pesante ( si dice così?) , dove l'asse di rotazione propria non coincide con l'asse del momento angolare , ma è dotato di un moto di precessione , a causa del momento del peso ...ma non è qui il caso di addentrarci in questo argomento
3) corpo rigido libero . Allora bisogna stabilire un punto QUALSIASI del corpo , $O$ , come origine di un sistema di coordinate $Oxyz$ solidale col corpo mobile , e analizzare il moto come composizione del moto di questo punto e del moto "attorno" a questo punto ....( di solito , s iassume il centro di massa del corpo mobile , perchè alcune quantità nel "moto relativo al centro di massa" si semplificano) .
Ti chiedo ( ma poi rispondo pure, così ti levo l'incomodo...) : se il corpo ha una velocità angolare rispetto all'origine assunta, e lo piazzo lì , questa velocità angolare cambia , se cambio l'origine delle coordinate mobili ? In altre parole , il vettore velocità angolare determina l'asse di rotazione ?
Rispondo con due paginette del testo di Meccanica di Landau- Lifsitz , primo volume del corso di Fisica teorica :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ecco ,la parte importante è quella centrale della pag 150 : la velocità angolare NON CAMBIA , se sposto l'origine delle coordinate in un altro punto $O'$ : essa ha un signficato "assoluto" , dice Landau .

Falco , questo è ciò che più di ogni altra cosa mi premeva sottolineare . Questo è quello che ho fatto , nel portare l'esempio del moto della Terra : poichè mi serviva calcolare le velocità di rotazione del piano tangente peril punto P , ho messo il vettore vel. angolare in P ( Landau me lo consente) , e l'ho scomposto in due direzioni , ottenendo le velocità con cui il piano orizzontale ruota attorno all'asse verticale e all'asse meridiano .

E questo , per finire ( sono esausto! ) è quello che mi spiegò il famoso professore di Meccanica coi baffi : " non sai dove mettere il vettore vel. angolare , in un corpo libero , perchè in realtà lo puoi mettere dove vuoi , non cambia il suo valore . E non è lui , a stabilire l'asse di rotazione. Leggiti il libro di Landau ! "

Falco , mi hai fatto sudare sette camicie , e perdere 3 kg- massa...

Se poi ho sbagliato , chiedo venia . Domani vado a fare dei test per l'Alzheimer...

[Falco5x]

Santo cielo navigatore, tu mi esaurisci.
Da un lato hai detto (o no? a me pare di sì) che la velocità angolare può essere intrinsecamente considerata uno scalare, e qui io non sono d'accordo; poi hai detto, quasi a giustificazione di ciò, che fissato un riferimento essa non dipende dalla posizione dell'asse di rotazione, e io qui sono d'accordo, ma ciò non giustifica la definizione di scalare perché non dipende dalla posizione dell'asse ma dal suo orientamento sì. Poi mi dici che io ti faccio dire cose che non hai detto... ma io mi riferivo sostanzialemtne alla prima delle due cose citate sulla quale io non sono d'accordo. Poi dici che considerare un vettore è una inutile complicazione (però nel frattempo mi pare che dai per scontato un piano di rotazione, e allora in questo caso io sono d'accordo, ma non sono d'accordo se il piano è incognito). Infatto quando io dicevo la nebulosa (?) frase "ma se nessuno prefissa su quale piano debba avvenire la rotazione allora è necessario esprimere 3 scalari, ovvero un vettore, per definire la velocità angolare, altrimenti manca l'informazione dell'orientamento e quindi del piano di rotazione nello spazio" volevo dire che se si parla di scalare manca l'informazione della direzione dell'asse, che nel caso tridimensionale serve per definire completamente la velocità angolare. NOTA BENE: non l'asse in sè, ma la direzione dell'asse, perché come sai i coseni direttori di una retta determinano solo un fasco di rette ugualmente orientate, e quindi questo fascio di rette lo possiamo anche assimilare a un vettore avente orientamento uguale a quello del fascio e modulo pari allo scalare che tu chiami velocità angolare scalare. (ma perché ti sto dicendo cose che sai benissimo????!!!)
Pertanto non mi sembra che sia una complicazione inutile definire in modo vettoriale la velocità angolare, mi sambra una complicazione necessaria per evitare altre e maggiori complicazioni.

A questo punto sono anch'io esausto perché mi costringi a un sacco di precisazioni poco utili tra due come noi che sostanzialmente sanno già bene entrambi come vanno le cose. E dunque non vedo di cosa stiamo tanto a discutere perché potremmo benissimo trovare un punto di accordo, ma sembra invece che non vogliamo mollare il punto. Bene, allora se la questione è solo questa io il punto te lo mollo subito e mi associo a Faussone piantando qui questo ormai inutile topic e augurandomi di incontrarti in un topic diverso dove si discuta in modo più costruttivo, magari di soluzioni a problemi piuttosto che di lane caprine.
Ciao.

[smaug]

però mi sono appassionato a questo topic

[Falco5x]

però mi sono appassionato a questo topic

Contento te...
Secondo me però può essere un topic diseducativo, spero che tu abbia saputo discernere il buono dal resto.

[smaug]

Della mia domanda iniziale non ho ancora capito perchè $\vec a(t) = - \omega^2 \vec R(t)$, ho cercato di fare il prodotto vettoriale ma non capisco dove sbaglio...

[Faussone]

Della mia domanda iniziale non ho ancora capito perchè $\vec a(t) = - \omega^2 \vec R(t)$, ho cercato di fare il prodotto vettoriale ma non capisco dove sbaglio...

Suppongo ti interessi la dimostrazione più generale col vettore $vec omega$ e non quella geometrica semplice che trovi nei libri di meccanica di base.
Come dicevo prima il vettore velocità angolare $vec omega$ di una terna di riferimento è caratterizzato dal fatto che un qualunque vettore solidale $vec s$ in quella terna di riferimento derivato rispetto al tempo risulta pari a
$(d vec s)/(d t)= vec omega times vec s$

Consideriamo adesso un punto materiale in moto circolare uniforme caratterizzato da una data velocità angolare. e prendiamo un sistema di riferimento rispetto cui il punto materiale è fermo, questo sistema di riferimento sarà allora caratterizzato in generale dalla velocità angolare $vec omega$.

La velocità sarà pari a
$vec v=(d vec r)/(dt) = vec omega times vec r$
(l'origine del sistema di riferimento considerato è ferma).
Abbiamo adesso un nuovo vettore $vec v$ che risulta anche questo solidale al sistema di riferimento rotante (questo è vero solo se il moto è circolare uniforme), in questo riferimento cioè il vettore velocità è immobile a qualunque tempo.
Per calcolare l'accelerazione basta derivare nuovamente tale vettore rispetto al tempo (ovviamente quando si deriva rispetto al tempo si intende sempre la variazione del vettore rispetto al tempo nel riferimento assoluto fisso), essendo la velocità solidale vale:
$(d vec v)/(dt)=d\frac{vec omega times vec r}{dt}=vec omega times (vec omega times vec r)$ che facendo il prodotto vettoriale risulta essere $-|vec omega|^2 vec r$.

Questa dimostrazione appare forse più complessa del necessario, ma ha il vantaggio di usare strumenti molto generali che una volta compresi ti renderanno le cose più semplici. In particolare risulterà facile calcolare l'accelerazione centripeta e di Coriolis, con una trattazione puramente di calcolo vettoriale.

[navigatore]

Falco,

ti faccio osservare solo un 'ultima cosa : nel penultimo post mi dici :

Ti faccio un esempio molto semplice.
Prendiamo un sistema cartesiano tridimensionale inerziale e prendiamo in esso un corpo rigido con centro di massa fermo e situato sull'origine degli assi.
Se ti dico: "il corpo rigido ruota con velocità angolare costante di 2 rad/s", ti basta come informazione su come si muove il corpo? se la risposta è SI, allora la velocità angolare è uno scalare, se la risposta è NO allora non è uno scalare.
Direi che la risposta è scontata.

Ecco , posso invertirlo subito, il tuo esempio : " nel tuo stesso sistema , è dato un corpo rigido che ruota attorno a un asse , passante per l'origine , di cui sono dati i tre coseni direttori . Trovare la velocità del corpo rigido " .

Bè, potrei fare una trasformazione lineare di coordinate , passando ad un altro riferimento , più semplice , in cui il piano perpendicolare all'asse dato sia il piano $xy$ , visto che ho i tre coseni direttori ....
E poi mi fermo , perchè non ho il modulo della velocità angolare da mettere sull'asse come vettore .

Falco, sappiamo tutti (spero) che una grandezza vettoriale è data da intensità , direzione , e verso , che definiscono una classe di equipollenza di vettori liberi . Se poi parliamo di "vettori applicati" , devo definire anche il punto di applicazione .

Non devi darmi ragione per forza , assolutamente. Io ti ho capito , ma penso invece di essere stato frainteso , forse non mi esprimo bene come vorrei .... Ma non voglio esaurire nessuno , sono già esaurito io ....e che , ci esauriamo tutti , qui ?

Spero anch'io che qualcuno altro abbia capito qualcosa , dalle tue e dalle mie parole . MA non penso si sia trattato di un argomento diseducativo . Altrimenti , tira pure fuori dal taschino il cartellino giallo .

Hai ragione , fermiamo pure le bocce , poichè non serve a nulla continuare. Ciao . Ci vediamo altrove .

[smaug]

$(d vec v)/(dt)=d\frac{vec omega times vec r}{dt}=vec omega times (vec omega times vec r)$ che facendo il prodotto vettoriale risulta essere $-|vec omega|^2 vec r$.

Concettualmente hai colmato ogni cosa potessi chiederti e ti ringrazio per questo, perchè credo anche di aver capito qualcosa però se posso disturbarti ancora, ti posso chiederti di mostrare i tuoi calcoli del prodotto vettoriale? ho delle difficoltà pratiche...grazie

[Faussone]

Concettualmente hai colmato ogni cosa potessi chiederti e ti ringrazio per questo, perchè credo anche di aver capito qualcosa però se posso disturbarti ancora, ti posso chiederti di mostrare i tuoi calcoli del prodotto vettoriale? ho delle difficoltà pratiche...grazie

Basta applicare il prodotto vettoriale, provo a scrivertelo a parole, ma è più semplice farlo che descriverlo...
Il primo $vec omega times vec r$ è un vettore perpendicolare a $vec omega$ (che è normale al piano del moto) e a $vec r$ diretto, quindi, tangenzialmente alla traiettoria circolare e di modulo $|vec omega|*|vec r|$, questo poi è moltiplicato vettorialmente da $vec omega$ e dà un vettore normale sia ad $vec omega$ che alla direzione tangente alla traiettoria circolare, pertanto diretto in direzione radiale, e di modulo appunto $|vec omega|^2 * |vec r|$ per cui trovi quel risultato.