Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda maxspyderweb » 13/06/2012, 09:50

Salve a tutti, avrei delle domande di tipo concettuale e formale di cui non ho risposta certa:

Ho un universo costituito da "A" sulla terra e da B su un'astronave che si avvicina a quest'ultima a 0.9c

1° A può osservare una dilatazione dei tempi all'interno dell'astronave e se dovesse misurare la lunghezza dell'astronave stessa da poppa a prua, osserverebbe una sua riduzione. Domanda: Ciò che A osserva contratto sono unicamente le distanze prese con punti di riferimento di oggetti solidali con l'astronave e quindi che viaggiano a velocità 0.9c o anche ad esempio la distanza tra l'astronave e la terra o la distanza tra astronave e qualsiasi punto dello spazio?

2° Se dovessi misurare il moto che avviene dentro l'astronave osservato da A con le trasformazioni di lorentz Userei la differenza del quadrivettore spostamento $(c(t_{0}+dt),x_{0}+dx,y,z)-(ct_{0},x_{0},y,z)$ e poi applicherei la matrice di trasformazione, per ottenere i dt', dx' OSSERVATI da A, ma a questo punto mi sorge un problema, il tempo osservato da A dentro l'astronave è effettivamente moltiplicato per gamma, quindi è dilatato (dt'=gamma*dt) ma lo spazio risulta allo stesso modo dilatato con dx'=gamma*dx, è evidente che in questo caso quindi dx' deve essere la lunghezza propria, presa nel sistema di riferimento solidale con B ma nel caso del tempo invece è il contrario, cioè dt è il tempo proprio del sistema B mentre dt' è quello osservato, trovo il tutto un po' scomodo.
maxspyderweb
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda navigatore » 13/06/2012, 16:13

maxspyderweb ha scritto:Salve a tutti, avrei delle domande di tipo concettuale e formale di cui non ho risposta certa:

Ho un universo costituito da "A" sulla terra e da B su un'astronave che si avvicina a quest'ultima a 0.9c

1° A può osservare una dilatazione dei tempi all'interno dell'astronave e se dovesse misurare la lunghezza dell'astronave stessa da poppa a prua, osserverebbe una sua riduzione. Domanda: Ciò che A osserva contratto sono unicamente le distanze prese con punti di riferimento di oggetti solidali con l'astronave e quindi che viaggiano a velocità 0.9c o anche ad esempio la distanza tra l'astronave e la terra o la distanza tra astronave e qualsiasi punto dello spazio?


in Relatività, "misurare" ha un significato un pò diverso da "osservare". Misurare una lunghezza significa, in RR, rilevare le coordinate spaziali degli estremi della lunghezza " contemporaneamente" , e il nocciolo delle questione è tutto qui : la Relatività della Contemporaneità.
L'osservatore$A$ misura la lunghezza $L_A$ dell'astronave a cui è solidale l'osservatore $B$, il quale invece misura la "lunghezza propria" $L_B$ . Vuol dire che $A$ ha determinato le coordinate spaziali degli estremi dell'astronave, nel proprio riferimento, "contemporaneamente".
Risulta, dalle trasformazioni di Lorentz : $L_A = R*L_B$ , dove $R=1/\gamma = sqrt(1-v^2)$ ( in unità geometrizzate, dove $c=1$ ) . chiaramente $ R <1 $ , essendo l'inverso del fattore di Lorentz. Perciò, la lunghezza misurata da $A$ è inferiore alla lunghezza propria dell'astronave.

Le distanze tra astronave e Terra , oppure tra astronave e altri oggetti, non sono affette dalla contrazione di Lorentz.

2° Se dovessi misurare il moto che avviene dentro l'astronave osservato da A con le trasformazioni di lorentz Userei la differenza del quadrivettore spostamento $(c(t_{0}+dt),x_{0}+dx,y,z)-(ct_{0},x_{0},y,z)$ e poi applicherei la matrice di trasformazione, per ottenere i dt', dx' OSSERVATI da A, ma a questo punto mi sorge un problema, il tempo osservato da A dentro l'astronave è effettivamente moltiplicato per gamma, quindi è dilatato (dt'=gamma*dt) ma lo spazio risulta allo stesso modo dilatato con dx'=gamma*dx, è evidente che in questo caso quindi dx' deve essere la lunghezza propria, presa nel sistema di riferimento solidale con B ma nel caso del tempo invece è il contrario, cioè dt è il tempo proprio del sistema B mentre dt' è quello osservato, trovo il tutto un po' scomodo.


Il "rallentamento degli orologi in moto" è il fenomeno per così dire "duale" della contrazione delle lunghezze.

Detto $\Deltat_B$ un intervallo di tempo proprio tra due eventi spaziotemporali( cioè, il tempo misurato da $B$ sulla propria astronave: i due eventi potrebbero essere per esempio due "tic" successivi dell'orologio di $B$) , e $\Deltat_A$ il corrispondente intervallo di tempo coordinato ( cioè, il tempo misurato da $A$ per mezzo di orologi disseminati in tutto lo spazio e sincronizzati tra loro, tra gli stessi eventi), sussiste la relazione :
$ \Deltat_A = \gamma * \Deltat_B$.
Essendo $\gamma >1$ , risulta : $ \Deltat_B < \Deltat_A $ : il tempo misurato da $B$ " scorre più lentamente" . Meglio dire: l'orologio di $B$ rallenta rispetto all'orologio di $A$ , per effetto del moto. Ma per verificare questo, occorre confrontare l'unico orologio di $B$ con almeno due orologi di $A$ che segnano il tempo coordinato.

Ora già immagino l'osservazione che farai...

Quello che vuoi dire tu è vero : il fattore $\gamma$ di Lorentz " gioca in modo opposto" nei due fenomeni : "contrazione delle lunghezze" e " rallentamento degli orologi in moto".
Ma così è, e non possiamo farci niente, anche se ti sembra scomodo.

PErò bisogna fare molta attenzione, e soprattutto cercar di capire bene il significato fisico dei fenomeni detti, al di là delle equazioni matematiche. Se no, vengono fuori i famosi "paradossi"...
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda maxspyderweb » 14/06/2012, 12:24

beh, grazie delle risposte concise, in effetti avrei trovato più comodo se il quadrivettore a' avesse rappresentato il tempo e lo spazio proprio nel sistema B e una volta trasformato con la matrice di trasformazione di lorentz mi avesse dato le coordinate osservate dall'osservatore in A quindi la coordinata tempo dilatata e quella spaziale contratta, ma non importa.

grazie ^^
maxspyderweb
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda navigatore » 15/06/2012, 10:33

LLA trasformazione di Lorentz, tra due riferimenti inerziali aventi coordinate spaziotemporali $(t,x, y,z)$ e ( t',x',y',z') , se si tratta di un "boost" nella direzione degli assi $x\equiv x'$ , si può scrivere sotto forma di prodotto matriciale, come sai :

$((t'),(x'),(y'),(z')) = ((\gamma,-\gammav,0,0),(-\gammav,\gamma,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) * ((t),(x),(y),(z))$

( coordinate geometrizzate , $c=1$ )

Da qui si può ricavare ciò che vuoi.
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda maxspyderweb » 15/06/2012, 13:03

ma è proprio questa matrice che mi creava problemi, prendo l'evento E individuato dalle coordinate per O' (ct',x',0,0) per O le coordinate sono

t=Gamma(t'+Vx'/c^2)
x=Gamma(x'+Vt')

e a differenza dell'ormai cantilenata tempo si dilata spazio si contrae, qui abbiamo tempo si dilata e spazio si dilata
maxspyderweb
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda navigatore » 15/06/2012, 20:45

Max, provo a dirti qualcosa in più, poi mi dirai se ti è servito.
Innanzitutto, seguendo l’uso più comune, indico senza apice le coordinate $(t,x,y,z)$ dell’osservatore inerziale $A$ “in quiete” , e con l’apice le coordinate $(t’,x’,y’,z’)$ dell’astronave $B$.
(pongo $c=1$ quindi $v$ è adim. ) nella direzione positiva dell’asse spaziale $x$ di $A$.
Le $y$ e $z$ non cambiano, per $t$ ed $x$ si hanno le due trasformazioni di Lorentz seguenti (che si ricavano anche dalla matrice detta ) per passare dalle coordinate di $A$ a quelle di $B$ :
$t’ = \gamma(t-vx) $ e : $x’ = \gamma(x-vt) $ …….(1)
(Nella prima, bisogna ricordarsi che $vx$ è da dividere per $c^2$ se si vuole far dei conti in unità tradizionali).
Per trasformazione inversa, per cui basta cambiare il segno di $v$ e scambiare le coordinate senz’apice con quelle con l’apice, si passa dalle coordinate di $B$ a quelle di $A$ :
$t = \gamma(t’+vx’) $ e : $x = \gamma(x’+ vt’) $.....(2)
Per esempio, se fosse $v=0.6$, avremmo $\gamma = 1.25$ .
Vediamo ora che cosa vuol dire “ dilatazione del tempo per l’orologio di $B$ in moto” , che è meglio dire così : “rallentamento del tempo in $B$ per effetto del moto, rispetto al tempo coordinato di $A$” .
Consideriamo due eventi dello spaziotempo, che hanno luogo in $B$, ad es. : l’astronauta lancia una palla (evento 1 : lancio) che rimbalza elasticamente su una parete dell’astronave e ritorna alla sua mano( evento 2: ritorno) . Per l’astronauta $B$, gli eventi 1 e 2 non sono separati spazialmente , cioè $x’_1 = x’_2$ , quindi: $\Deltax’ =0 $ .
Però gli eventi per $B$ sono separati temporalmente : $t’_2 = t’_1 +\Delta t’ $ , chiaramente.
Questi sono due eventi dellospaziotempo, che osservano sia A che B.
Vediamo invece dalle (2) che per $A$ i due stessi eventi sono separati sia spazialmente che temporalmente. Infatti si ha :
$t_1 = \gamma(t’_1 + vx’_1) $ , e : $x_1 = \gamma(x’_1+ vt’_1) $.....(3)
$t_2 = \gamma(t’_2 + vx’_2) $ , e : $x_2 = \gamma(x’_2+ vt’_2) $.....(4)
Per cui :
$ t_2 – t_1 =\gamma(t’_2 –t’_1) $ , cioè : $\Deltat = \gamma\Deltat’ $
E inoltre : $x_2-x_1 = \gammav(t’_2-t’_1) = \gammav*\Deltat’$ , cioè : $\Deltax = v*\Deltat $
Poiché $ \gamma > 1 $, l’intervallo$\Deltat’$ di “tempo proprio di $B$ “ è più piccolo del corrispondente intervallo di tempo coordinato, misurato da $A$, tra gli stessi due eventi 1 e2 dello spaziotempo. Nell’esempio con $v=0.6$ e $\gamma =1.25$, se fosse $\Deltat’= 2s$ , sarebbe : $\Deltat= 2.5 s $.
E’ questo il senso da dare alla frase: “per gli orologi in moto il tempo scorre più lentamente” . Il tempo proprio tra eventi è sempre minore del tempo coordinato tra gli stessi eventi, perché rispetto all’osservatore che misura il tempo coordinato si aggiunge la separazione spaziale, che per l’osservatore $B$ non c’è.
Se andiamo tuttavia a verificare il valore dell’intervallo spaziotemporale, con i $\Delta$ di spazio e di tempo per $B$ e per $A$, risulta ovviamente che : $ (\Deltas’)^2 = (\Deltas)^2$ : si vede per sostituzione diretta, ma se vuoi lo fai da te. Quindi, è come deve essere.
Ora vediamo invece la contrazione delle lunghezze, su cui credo tu abbia maggior difficoltà . Qui ci andrebbe meglio un diagramma di Minkowski, se non ti è chiaro lo faccio e lo posto.
L’astronave $B$ ha una lunghezza “propria” : $L_B = x’_a– x’_d $ , dove “ a = avanti” e “d=dietro” .La misura della lunghezza propria da parte di $B$ non presenta nessuna difficoltà. Ma come deve fare $A$ per misurare la lunghezza dell’astronave, nel suo riferimento, col suo metro? La risposta ovvia è che debba rilevare gli estremi dell’astronave “contemporaneamente” per lui, ad es. segnando con delle tacche i due estremi sul suo asse $x$,cioè rilevare le coordinate spaziali di $a$ e $d$ in uno stesso istante di tempo coordinato. Allora, se scriviamo la seconda delle (1) per i due punti detti si ha :
$ x’_a = \gamma(x_a – vt_a)$ , e : $ x’_d = \gamma(x_d – vt_d)$
Sottraendo membro a membro, e tenendo presente che deve essere : $t_a = t_d$ , si ottiene :
$ L_B = x’_a– x’_d= \gamma(x_a – x_d)$ , cioè , chiamando : $ L_A =(x_a – x_d) $ , risulta :
$ L_B = \gamma* L_A $ , ovvero : $ L_A = 1/\gamma*L_B = R*L_B$ .
La lunghezza misurata da $A$ rilevando “contemporaneamente” le coordinate di $a$ e $d$ è inferiore alla lunghezza propria dell’astronave. Come vedi, ci si arriva dalle trasformazioni di Lorentz.
Non so se questo ti possa essere di qualche aiuto, probabilmente sono tutte cose che sapevi già. Se è così, ti chiedo scusa. Ciao.
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda maxspyderweb » 16/06/2012, 09:59

no beh per essere chiaro sei stato molto chiaro, ti ringrazio per aver scritto tutto questo, osservo che hai cambiato trasformazioni, per quella temporale hai al primo membro i t, per quella spaziale gli x' che poi espliciti per la lunghezza rispetta ad A, questi passaggi mi sono chiari a livello intuitivo, ma sto litigando a livello formale a cui mi sono tuttavia rassegnato infatti perchè non hai usato nella coordinata spaziale come hai fatto con quella temporale $t_{2}-t_{1}=\gamma t'_{2}-t'_{1}$ dove appunto $t_{2}-t_{1}$ è il tempo osservato "dilatato" cioè per me il periodo dell'orologio dura più secondi assegnando quindi alle coordinate senza ' il significato fisico di coordinate osservate da A di B, a rigor di logica quindi $x_{a}-x_{d}=\gamma x'_{a}-x'_{d}$ dovrebbero essere le coordinate in x osservate da A di B, come puoi vedere il mio è solo un litigio formale, troverei molto più intuitive le trasformazioni di lorentz scritte così (tralasciando le invarianze di y' e z' vista la velocità in x):

$$
ct= \gamma ct'+\gamma Vx'/c
x= (x'+Vt')/ \gamma
$$

in questo modo tuttavia s^2 non è invariante però mi risulta più intuitivo, nelle coortinate con il ' metto le coordinate "proprie" nelle coordinate senza ' ho le coordinate osservate. Grazie per il tuo tempo, ho ben chiaro anche grazie alle tue spiegazioni come le cose si trasformano ma trovo comunque controintutive le trasformazioni di lorentz.
Per me può bastare ho sicurezza sul come vengano applicate le trasformazioni.
Grazie
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Re: Trasformazioni di lorentz e contrazione spaziale

Messaggioda navigatore » 16/06/2012, 14:35

max,
forse ( ma solo forse...) penso di aver capito il tuo inciampo.
Tu pensi che "dilatazione del tempo" dell'osservatore in moto $B$ rispetto all'osservatore in quiete $A$ significhi che l'orologio di $B$, tra due eventi spaziotemporali osservati (misurati, meglio) da entrambi, MARCHI UN MAGGIOR NUMERO DI SECONDI ? E' questo il tuo dubbio ? Intendi questo, per "dilatazione del tempo" dell'orologio in moto?

Se è questo il dubbio, ti dico subito: NO ! . L'orologio di $B$, per effetto del moto, marcia più lentamente di quello di $A$.
Se, come nell'esempio che ti ho fatto, $v=0.6$ , il coefficiente di ritardo dell'orologio di $B$ rispetto a quello di $A$ è uguale a : $R=0.8 = 1/1.25$ , essendo appunto $\gamma = 1.25$

Se tra due eventi passano, per $B$, $10s$ del suo tempo proprio, vuol dire che per $A$ sono passati $12.5s$ di tempo coordinato : $ \Deltat_A = \gamma*\Deltat_B$ . Questo significa, che il tempo di $B$ è dilatato!

Ti consiglio, per un adeguato approfondimento, due libri che non sono molto pesanti come formalismo matematico, ma a me sono serviti tantissimo, nel lontano tempo in cui ho imparato queste cose ( e tante altre, molto più toste...)
Uno è definito "libro divulgativo" , ma ti assicuro che non lo è : " Spaziotempo" di Sexl e Schmidt , edito da Boringhieri.
L'altro è : " Introduzione alla Relatività Ristretta" di Resnick ( il coautore del testo di Fisica che molti adoperano) . Ci sono anche molti esercizi, ne rimarrai colpito per la chiarezza e il rigore.
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