Analisi reale: quale corso seguire?

[lezbemoony]

Buongiorno a tutti,
sono un'aspirante economista al secondo anno (fatemi presente se io debba necessariamente presentarmi nella sezione adeguata del forum) e voglio intraprendere un PhD negli Stati Uniti, in Inghilterra o, alternativamente, in Olanda. In questi Paesi il dottorato dura cinque anni, dei quali due sono dedicati allo studio e tre alla ricerca pura. Per via di questa organizzazione molte università progettano i programmi di dottorato per studenti appena usciti da una triennale, chiedendo loro di dimostrare di poter diventare ottimi ricercatori dopo il quinquennio di dottorato.
Nel mio caso particolare, credo di rispondere a tutti i requisiti minimi: i miei voti sono eccellenti, ho due buone lettere di raccomandazione (ne avrei bisogno un'altra, ma confido nei professori del terzo anno), ho avuto buoni esiti nei due test che ogni università estera richiede (IELTS e GRE), e sono riuscita ad assistere un professore per un paio di mesi in un suo lavoro di ricerca (anche se non so fino a che punto potrei definirmi "assistente di ricerca"). L'unica cosa su cui ho delle lacune è la preparazione matematica, e questo è il motivo per cui vi chiedo gentilmente aiuto!

In questi due anni di studio la mia preparazione matematica si è limitata a essere costituita da un corso di Matematica Generale, che immagino simile al programma di una generica Analisi I,

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Algebra lineare. Vettori e sottospazi vettoriali di Rn. Matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango. Sistemi di equazioni lineari. Nozioni elementari di topologia in R e in Rn. Limiti: definizione, teoremi, operazioni sui limiti, forme indeterminate. Funzioni continue e loro proprietà. Punti di discontinuità. Calcolo differenziale. Derivata . Derivate di ordine superiore. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione. Punti di stazionarietà. Teoremi di Fermat, Rolle e di Lagrange. Teorema di de l’Hopital. Massimi e minimi di funzioni derivabili. Differenziale. Formula di Taylor. Convessità e flessi. Asintoti. Studio di funzione. Calcolo integrale. Integrale indefinito e metodi di integrazione (per decomposizione, per parti, per sostituzione). Integrale definito e sua interpretazione geometrica. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali generalizzati.
Funzioni reali di più variabili reali. Nozioni di base. Derivate parziali del primo ordine e vettore gradiente. Derivate parziali del secondo ordine e matrice hessiana. Ricerca dei punti estremanti interni per funzioni di due variabili

a un corso di Matematica Finanziaria - evito di mettere il programma in quanto non relativo alla teoria matematica che dovrei saper padroneggiare - e a un corso di Statistica.

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1. Statistica descrittiva:
 dati qualitativi e quantitativi;
 distribuzioni statistiche e rappresentazioni grafiche;
 indici di posizione: media, moda, mediana e quartili;
 variabilità: campo di variazione, differenza interquartile, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione;
 disuguaglianza di Chebychev e regola empirica;
 relazioni fra variabili: covarianza e coefficiente di correlazione lineare.
2. Probabilità: definizione di probabilità ed alcune sue proprietà elementari;
 probabilità condizionate ed eventi indipendenti. Teorema di Bayes;
 variabili aleatorie;
 valore atteso e varianza;
 distribuzioni di probabilità notevoli: bernoulliana, binomiale, normale.
3. Statistica inferenziale:
 popolazione, campione, statistiche e parametri;
 
 teorema centrale del limite;
 stima puntuale;
 lstima intervallare;
 verifica di ipotesi;
 regressione lineare semplice.

Leggendo varie opinioni e suggerimenti online, ho scoperto che la preparazione matematica ideale comprende non solo il calcolo con più variabili (non so quale sia l'esatta traduzione di "calculus with many variables", quindi perdonate la mia ignoranza), l'algebra lineare e le equazioni differenziali, ma anche l'analisi reale ("real analysis") e i processi stocastici.
Il mio problema è quindi frequentare un corso universitario che mi fornisca le opportune conoscenze dell'una o dell'altra materia di studio, ma con una preferenza per l'analisi reale, dato che viene più volte definito come il primo corso matematico "rigoroso" e che necessita un lavoro di analisi di prove (anche se non capisco cosa questo voglia esattamente dire: un lavoro di ricerca o un impegno intellettuale che invece manca nei corsi di analisi di base?).

Non avendo capito di che cosa tratti esattamente l'analisi reale, mi si presentano due strade: frequentare il corso di Economia Matematica offerto dalla mia università,

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La struttura di spazio lineare (o vettoriale). Richiami sui vettori di Rn. Richiami su dipendenza e indipendenza lineare di vettori di Rn, su dimensione e base per un sottospazio lineare di Rn. Applicazioni lineari e teorema di rappresentazione. Autovalori ed autovettori; spazio invariante (o autospazio); molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori; condizioni necessarie e sufficienti e condizioni solo sufficienti per l’indipendenza lineare degli autovettori. Autovalori ed autovettori di matrici simmetriche. Trasformazioni per similitudine e diagonalizzazione. Teorema di Schur. Forma canonica di Jordan. Teorema di Cayley-Hamilton. Forme quadratiche: classificazione e riconoscimento del segno (tramite autovalori e tramite minori principali); forme quadratiche vincolate. Raggio spettrale e serie di potenze di matrici (“serie di C. Neumann”). Matrici quadrate non negative e teoremi di Perron-Frobenius. Il modello economico di W. Leontief. Il modello economico di P. Sraffa. Richiami sul calcolo differenziale per funzioni di più variabili; derivate parziali del primo ordine e di ordine superiore. Matrice Jacobiana e matrice Hessiana. Funzioni differenziabili. Equazione dell’iperpiano tangente. Derivazione di funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni omogenee: definizione, principali proprietà, teorema di Eulero. Funzioni implicite e teoremi di Dini. Formula di Taylor per funzioni reali di più variabili reali. Problemi di ottimo libero e vincolato. Teorema di Weierstrass. Ottimi liberi: teorema di Fermat, condizioni sufficienti di ottimalità del secondo ordine. Problemi di ottimo su insiemi non aperti. Funzioni convesse e concave, strettamente convesse e strettamente concave. Loro caratterizzazione nel caso di funzioni differenziabili e nel caso di funzioni di classe C2 . Applicazione ai problemi di ottimo libero. Combinazione lineare e composizione di funzioni convesse. Funzioni quasiconvesse e pseudoconvesse. Loro caratterizzazione nel caso di funzioni differenziabili e di funzioni di classe C2. Problemi di ottimo vincolato con vincoli espressi da uguaglianze. Caso bidimensionale: metodo di esplicitazione, metodo delle linee di livello, metodo dei moltiplicatori di Lagrange; caso generale (condizioni necessarie e condizioni sufficienti di ottimalità). Interpretazione economica dei moltiplicatori di Lagrange (teorema di sensitività e “prezzi ombra”). Problemi di ottimo vincolato con vincoli espressi da disuguaglianze (programmazione matematica). Teorema dell’alternativa di Gordan. Condizioni necessarie di ottimalità di Abadie e di F. John. Qualificazione dei vincoli: condizione di Arrow-Hurwicz-Uzawa e sua generalizzazione, condizione di indipendenza lineare dei gradienti dei vincoli “attivi”, condizione di Slater. Condizioni necessarie di ottimalità di Kuhn-Tucker. Condizioni sufficienti di ottimalità di Kuhn-Tucker. Non negatività delle variabili. Il metodo delle curve di livello ed il metodo delle restrizioni per il caso bidimensionale. Programmazione convessa (concava) e punti di sella della funzione Lagrangiana. Il teorema dell’alternativa di Fan-Glicksberg-Hoffman. Relazioni tra punti di sella della funzione Lagrangiana e condizioni di Kuhn-Tucker. Programmazione lineare (P.L.): terminologia e classificazioni. Poliedri convessi. Teorema fondamentale della P.L. Soluzione “grafica” di un problema di P.L. nel caso bidimensionale. Soluzioni di base e teorema sulle soluzioni di base. Problemi duali: definizioni e nozioni fondamentali. Teoremi di esistenza, di dualità debole, di dualità, degli scarti complementari. Sistemi dinamici continui e discreti. Equazioni differenziali: concetti e terminologia di base. Sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza ed unicità. Equazioni lineari del primo ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Soluzioni di equilibrio di un sistema del primo ordine. Concetti di stabilità delle soluzioni di equilibrio. Il caso dei sistemi differenziali lineari con coefficienti costanti: condizioni di Routh-Hurwitz, matrici con diagonale dominante e quasidominante. Tecniche grafiche per la stabilità di sistemi unidimensionali (“diagrammi di fase”). Tecniche analitiche per sistemi pluridimensionali: funzione di Lyapunov, metodo di linearizzazione. Applicazione allo studio della stabilità degli equilibri in un modello economico walrasiano di puro scambio. CENNO AI SISTEMI DINAMICI DISCRETI. CENNO AGLI INTEGRALI DOPPI.

oppure frequentare un corso della facoltà di matematica.

Chiedo dunque a voi: dato che l'Università di Pavia (che frequento) non presenta alcun corso denominato "Analisi Reale", né alcun programma che ne parli, quale tipo di corso di Analisi dovrei frequentare e che cosa mi sto accingendo a voler studiare? Oppure, contrariamente a quanto credo, il corso di Economia Matematica è sufficiente per poter avere una preparazione matematica non solo sufficiente, ma ottima?
Qualora la risposta sia "fai un corso di Analisi 3/4", è qualcosa che posso affrontare con la mia sterile preparazione o devo integrarla in altri modi?

Grazie in anticipo a qualunque povera anima che si sia spinta a leggere fin qui e che, addirittura, vorrebbe aiutarmi!

[Bremen000]

Direi che il tuo corso di Matematica Generale copre più o meno gli argomenti di Analisi I mentre quello di Statistica è però privo di teoria della misura per la parte di probabilità.
Il corso di Economia Matematica invece direi che copre gli argomenti di un po' di corsi, mi pare di capire di algebra lineare, analisi II e ricerca operativa.
Di solito con analisi reale si intendono quei corsi che coprono argomenti di teoria della misura, integrazione astratta e spazi $L^p$ argomenti però a cui non accenna nessuno dei corsi da te citati.

Secondo me tali argomenti potrebbero essere in un corso di Analisi III o Analisi IV della tua università però, a mio parere, affrontarli senza aver prima seguito analisi II è proibitivo. Secondo me potresti prima seguire il corso di economia matematica e poi uno tra analisi 3 e analisi 4 che tratti gli argomenti che ti servono.

Per quanto riguarda invece i processi stocastici o appaiono in corsi ad hoc (in cui però secondo me si dà per scontata qualche conoscenza di teoria della misura e probabilità) oppure in qualche corso di probabilità generale, non credo proprio in un corso di analisi.

Questa è solo la mia opinione dovuta alla mia (personalissima) esperienza, aspettiamo di sentire un po' di pareri.

[Seneca]

Moderatore: Seneca

Sposto la discussione in Orientamento Universitario.

[lezbemoony]

Grazie delle risposte, e scusatemi il ritardo della mia. E grazie Seneca per aver spostato la discussione nella sezione giusta!

Allora, come mi è stato fatto notare tra il programma di Analisi III

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Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicità, prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari (risultati generali e calcolo della matrice esponenziale). Il metodo della trasformata di Laplace.
Comportamento asintotico e stabilità (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov). Differenziabilità complessa e analiticità. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarità. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprietà di base delle funzioni olomorfe (principio del prolungamento analitico, principio dell'argomento e teorema di Rouchè; successione di funzioni olomorfe). Proprietà geometriche: teorema dell'applicazione aperta, trasformazioni conformi.

e quello di Analisi IV,

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Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo. Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Completezza. Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt). Convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.

dovrei scegliere quest'ultimo corso.

Quello che mi suggerisci tu ha senso

Secondo me potresti prima seguire il corso di economia matematica e poi uno tra analisi 3 e analisi 4 che tratti gli argomenti che ti servono.

se non fosse che il corso di Economia Matematica (Analisi II, diciamo) si tiene nel secondo semestre
mentre quello di Analisi IV nel primo, ed essendo questo il mio ultimo anno non ho la possibilità di seguire Analisi II prima di Analisi IV.
La domanda che mi sorge spontanea è la seguente: ho la possibilità di capire quanto viene trattato ad Analisi IV con le sole conoscenze di Analisi I? Dato che penso che la risposta sia no, chiedo: quali argomenti è fondamentale che io studi? Mi è stato fatto notare che, tra le cose che non so, sono necessari solamente il calcolo in una e in più variabili e l'integrazione alla Riemann in una e in più variabili: devo "solamente" studiare calcolo e integrazione in più variabili per essere pronta ad affrontare un corso e un esame del genere?

E qualunque sia la risposta, avete dei libri su cui io possa studiare tutto quello che mi serve?
Grazie mille per la vostra disponibilità!