Re: Matematica o no?

Messaggioda ProPatria » 23/08/2019, 04:48

gugo82 ha scritto:Molti testi di Matematica universitaria, da cui questo esercizio -che esercizio non è- sembra tratto (a casaccio, come già fatto notare da altri), sono pieni di esercizietti che possono esser svolti anche da liceali… Basta saper scegliere (cosa che presuppone conoscenze approfondite della materia non sempre possedute da studenti al primo anno ed, a volte, neanche da certi ricercatori).

Ad esempio, questo (tratto da Prodi) mi pare sufficientemente sensato:
Dati due numeri $a,b>0$, si consideri l’equazione:
\[
\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; .
\]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $]- b, 0[$ e $]0, a[$ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $1/(x - alpha)$ è decrescente sia in $]alpha , +oo[$ sia in $]-oo , alpha[$.)



Per quanto riguarda il primo punto preferisco non postare lo svolgimento completo in quanto è abbastanza lungo, ho comunque considerato due funzioni $ f(x)=1/(x-a) $ e $ g(x)=-1/x-1/(x+b) $. Notiamo che l'equazione considerata ha come soluzioni quei valori $ x $ tali che $ f(x)=g(x) $. A questo punto vediamo che negli intervalli $ ]-infty;-b[ $ e $ ]a;+infty[ $ le due funzioni non si incontrano (studiando crescenza e decrescenza delle funzioni in tali intervalli e calcolando i limiti delle funzioni per $ x $ che tende a $ +-infty $ e in prossimità degli asintoti verticali), quindi non esiste alcuna soluzione in questi intervalli. Negli intervalli $ ]-b;0[ $ e $ ]0;a[ $ possiamo ripetere un ragionamento simile calcolando i limiti in prossimità degli estremi degli intervalli e considerando crescenza e decrescenza per dimostrare che in ognuno di questi 2 intervalli esiste una soluzione dell'equazione.
Riguardo invece il secondo punto ho considerato la funzione $ f(x)=1/(x-a)+1/x+1/(x+b) $. dobbiamo ora dimostrare che l'equazione $ f(x)=0 $ ha una soluzione in $ ]-2/3b;-b/3[ $ e una soluzione in $ ]a/3;2/3a[ $.
Sapendo che $ f(x) $ è continua in questi intervalli calcoliamo $ f(-2/3b)=9a/(4b^2+6ab) $ e $ f(-b/3)=-9(b+a)/(2b^2+6ab) $. Poichè $ a,b>0 $ per ipotesi notiamo che $ f(-2/3b)>0 $ e $ f(-b/3)<0 $, quindi deve esserci un punto $ x $ in questo intervallo tale che $ f(x)=0 $. Ripetiamo il ragionamento per l'intervallo $ ] a/3;2/3a [ $.

marco2132k ha scritto:
ProPatria ha scritto:Notiamo quindi che tra i due insiemi \( S/E_f \) e $ T $ sussiste una relazione biunivoca, infatti a ogni elemento $ q∈T $ corrisponde un solo elemento \( p\in S/E_f \) tale che f(p)=q
5) La \( f \) non prende in ingresso classi di equivalenza. Probabilmente stai chiamando con lo stesso nome, appunto, \( f\colon S\to T \) e la funzione (diciamo \( g \)) che stai costruendo.

Costruisci \( g\colon S/{\mathrel{E}_f}\to T \) mappando una classe di equivalenza \( C \) con l'immagine secondo \( f \) di un elemento di \( C \) scelto a ca**o. E dici che è biiettiva, perché (vd. sopra) la fibra di ogni punto di \( T \) ha un unico elemento. Però non dimostri quest'ultima affermazione.


Questo mi era completamente sfuggito. Nella richiesta ho letto "...ogni funzione $ f:Sto T $ suriettiva induce una biiezione...", quindi credevo che il compito fosse di dover dimostrare che la funzione che "collega" \( S/E_f \) e $ T $ con una relazione biunivoca fosse proprio la funzione $ f:Sto T $, qualcosa infatti non mi tornava ed è per questo che alla fine ho forzato le cose ma ora è tutto più chiaro.


marco2132k ha scritto:p.s. Se vuoi provare a mettertici un po' seriamente con le dispense, ti consiglio di cominciare da quelle di geometria. Perché partono dalla teoria degli insiemi, e quelle di A1 no. (In realtà sul sito di Paolini ci sono dei fogli introduttivi su insiemi e linguaggio matematico, cerca bene. Però non li ho mai letti, so solo che ci sono, quindi non te li ho segnalati.)

D'accordo, le dispense di geometria fanno giusto al caso mio. Riguardo i fogli introduttivi se ne avrò bisogno li cercherò. Comunque grazie mille per la pazienza e per i consigli preziosi! :D
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Re: Matematica o no?

Messaggioda iSte » 30/08/2019, 00:02

Il ragazzo è molto più bravo di quello che dovrebbe essere.
Propatria, fai le cose con calma, vivi l'università serenamente. E' un periodo bellissimo, forse il più bello della vita. Pensa, rifletti, "digerisci" nei giusti tempi i contenuti e non affrettare le cose.
Chi ti propone queste cose, ora, facendole passare come mezze banalità, è solo un frustrato.
Queste non sono cose che dovresti saper trattare all'uscita di un liceo. E all'università lo sanno.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda Luca.Lussardi » 30/08/2019, 09:04

Perfettamente d'accordo, è inutile e dannoso anticipare concetti che ti saranno spiegati da zero, corri solo il rischio di farti delle idee sbagliate che poi risultano difficili da correggere. Fai con calma e segui quelli che saranno i tuoi maestri.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda marco2132k » 30/08/2019, 15:38

Ma che palle... Ovvio che all'università sanno che "queste non sono cose che dovresti saper trattare all'uscita di un liceo". E altrettanto ovvio è che non gli serva a nulla sapere che ogni funzione suriettiva [...], scollegato da tutto il resto.

Comunque @op lo scopo l'ha colto:
ProPatria ha scritto:forse non è alla mia portata, comunque mi ha spinto ad informarmi su argomenti "lontani" (per il momento) e di conseguenza a farmi un'idea più chiara di quel che probabilmente mi aspetta.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda Luca.Lussardi » 30/08/2019, 15:45

Idea chiara? e di che cosa? Io se non capisco niente di ciò che leggo non mi faccio nessuna idea, men che meno che sia difficile, semplicemente è un linguaggio che non conosco. E' molto facile mettere tanto fumo quando si ha a che fare con le scienze formali, come la matematica, e il formalismo spaventa se non ci si è abituati. Perchè uno deve farsi un'idea in anticipo di come sia la matematica universitaria? Molto meglio resettare la mente e ascoltare le lezioni.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda marco2132k » 30/08/2019, 16:19

L'"idea chiara" non mi pare sia da intendere riguardo agli scopi e al rapporto che la teoria degli insiemi ha con le altre parti della matematica. Mi sembra più razionale riferirla al tipo di domande che sarà tenuto a farsi.

Poi, qui
Luca.Lussardi ha scritto:Perchè uno deve farsi un'idea in anticipo di come sia la matematica universitaria?
mi auguro che tu stia scherzando. Ti sei iscritto a matematica (ipotizzo, avendo letto nel tempo alcuni tuoi post) "a caso"?

Molto meglio resettare la mente e ascoltare le lezioni
Assolutamente sì se questa frase è intesa in un modo, no se è intesa in un altro. Però non è questo il luogo per discuterne.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda Luca.Lussardi » 30/08/2019, 16:35

marco2132k ha scritto:mi auguro che tu stia scherzando.

no
marco2132k ha scritto: Ti sei iscritto a matematica (ipotizzo, avendo letto nel tempo alcuni tuoi post) "a caso"?

no, ma che c'entra? Rinnovo la domanda: perchè uno deve anticipare delle cose, per altro fondamentali per la loro importanza, che gli verranno spiegate nel dettaglio? La cosa giusta è arrivare forti sulla cose che ti devi sapere perchè non ti verranno fatte, vedi matematica di base del liceo. Altrimenti, si corre solo il rischio di farsi delle idee sbagliate, che poi è difficile correggere.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda giuliofis » 30/08/2019, 17:59

Luca.Lussardi ha scritto:Altrimenti, si corre solo il rischio di farsi delle idee sbagliate, che poi è difficile correggere.

È un rischio serio e concreto, che non va minimizzato o sottovalutato.
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Re: Matematica o no?

Messaggioda axpgn » 30/08/2019, 18:05

A me pare, leggendo la notevole quantità di post disillusi (o peggio), che esista il pericolo contrario ovvero vedo tanta gente che aveva una visione, diciamo così, "romantica" della Matematica (o della Fisica) e che poi è andata a sbattere contro un muro ... IMHO
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Re: Matematica o no?

Messaggioda ProPatria » 31/08/2019, 03:57

iSte ha scritto:Il ragazzo è molto più bravo di quello che dovrebbe essere.
Propatria, fai le cose con calma, vivi l'università serenamente. E' un periodo bellissimo, forse il più bello della vita. Pensa, rifletti, "digerisci" nei giusti tempi i contenuti e non affrettare le cose.
Chi ti propone queste cose, ora, facendole passare come mezze banalità, è solo un frustrato.
Queste non sono cose che dovresti saper trattare all'uscita di un liceo. E all'università lo sanno.


Ti ringrazio molto per il complimento, so anche però che purtroppo la mia "bravura" servirà a ben poco senza parecchio impegno da parte mia, in particolare per quanto riguarda gli argomenti su cui non mi ritengo bravo affatto. La mia paura infatti è proprio quella di non essere in grado di impegnarmi a sufficienza per farcela. Il fatto che tu ritenga l'università un periodo bellissimo però mi conforta molto, spero che lo sia anche per me. E grazie ancora per i consigli :-D
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