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Infatti, non ha nessun senso porre quella domanda ad un liceale...

Sì e no.

Comunque non è un prerequisito.

Tornando a rispondere alle due domande dell'OP: l'algebra lineare è una branca dell'algebra, che si utilizza per costruire un modello della geometria di Euclide.

La topologia è un settore estremamente astratto, e preferisco non descrivertelo; d'altronde, ogni primo corso di topologia generale è impostato in maniera abbastanza personalizzata da parte del docente.

Molti testi di Matematica universitaria, da cui questo esercizio -che esercizio non è- sembra tratto (a casaccio, come già fatto notare da altri), sono pieni di esercizietti che possono esser svolti anche da liceali… Basta saper scegliere (cosa che presuppone conoscenze approfondite della materia non sempre possedute da studenti al primo anno ed, a volte, neanche da certi ricercatori).

Ad esempio, questo (tratto da Prodi) mi pare sufficientemente sensato:

Dati due numeri $a,b>0$, si consideri l’equazione:
\[
\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; .
\]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $]- b, 0[$ e $]0, a[$ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $1/(x - alpha)$ è decrescente sia in $]alpha , +oo[$ sia in $]-oo , alpha[$.)

È un esercizio dimostrativo, non è di tipo geometrico (che non piace allo OP) e si risolve conoscendo quel po’ di teoria che si deve conoscere al termine di un liceo.
L’obiettivo dell’esercizio è comunque scrivere una dimostrazione, cioè giustificare con calcoli ed argomentazioni logiche e coerenti i passaggi che consentono di ottenere la tesi, i.e. 1 che l’equazione $1/(x - a) + 1/x + 1/(x + b) = 0$ ha solo due soluzioni in campo reale e 2 che tali soluzioni sono localizzate lì dove indica il testo, partendo dalle ipotesi, i.e. $a,b > 0$.

Per scrivere una dimostrazione, uno deve cercare di individuare una strada, proprio come si fa nella risoluzione di problemi di Geometria al biennio.
Nei problemi di Geometria la via maestra è “disegnare una figura e ragionare su di essa”; ed anche in questo caso è possibile appoggiare i propri ragionamenti su un’appropriata rappresentazione grafica.
In generale, valgono i consigli che do ai miei studenti e che ho riassunto qui (parlando dei problemi di Geometria, ma sono del tutto generali).

Se non riesci, prova innanzitutto ad assegnare un paio di valori ad $a$ e $b$ e vedere ciò dove ti porta; poi pensa a cosa accade nel caso generico.
Se ancora non va, prova a postare qualche ragionamento nella sezione delle Secondarie di Secondo Grado o di Analisi.

Non sarà un esercizio (perché non è un esercizio?) fattibile da un liceale (però io riesco, perché? ), ma non è scelto a casaccio.

Intanto è un fatto fondamentale per tutta l'algebra che vedrà se farà matematica. Perché la stessa cosa vale in generale, per qualsiasi algebra (se \( \phi\colon A\to B \) è un morfismo di algebre, allora \( A/\operatorname{Ker}\phi\cong\operatorname{Im}\phi \)), e xé n'attimo non riconoscere nessuna affinità tra \( \operatorname{Ker}\phi \), fai, parlando di gruppi o di spazi vettoriali, e la relazione \( {\mathrel{E}_f} \).

Poi, l'aritmetica dell'orologio è presentata a pagina 31 del Courant. Quindi una bella cosa per @ProPatria potrebbe essere cercare di comprendere almeno che cosa questa proposizione astrae, se la dimostrazione non gli paresse sufficientemente accessibile. (Ha detto lui di conoscere un po' di teoria degli insiemi. Non me lo aspetto da altre persone che conosco, ma che sappia cos'è una relazione di equivalenza, dopo che ha detto di conoscere un po' di set theory, va al di là dello scherzo).

Non deve dare la maturità: l'esercizio che proponi è troppo simile a ciò che ha già visto. Una cosa simile (a.k.a. un esercizio che richiede di fare un disegno, ma di sopportare la costruzione con un'argomentazione adeguata) potrebbe essere la costruzione di una funzione continua \( S^1\to Q^1 \) con il gluing lemma. (\( Q^1 \) è il quadrato unitario; quello della bici quadrata della maturità di qualche anno fa).

@ marco2132k: Questo è un punto interessante… Definisci “esercizio”.
Un “fatto fondamentale per tutta l’Algebra che vedrà se farà Matematica” ricade nella tua definizione?




@ ProPatria:

ProPatria ha scritto:Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.

Già parti col piede sbagliato.
Iscriversi all’università presuppone un “piacere” nello studiare ciò di cui il c.d.l. scelto tratta, sia esso Matematica o Veterinaria ovvero Scienze Gastronomiche Mediterranee.¹
La sfida con gli amici può essere una buona motivazione per il calcetto, ma non per lo studio universitario.

ProPatria ha scritto:Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.

Insomma, i conti li sai più o meno fare, ma ragionare non è il tuo mestiere?
Anche qui, parti col piede sbagliato, dato che “fare i conti” è solo una piccola parte del lavoro del matematico.

ProPatria ha scritto:Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie

Penso che, in sé, non c’è nulla da vergognarsi se non ti piace la Geometria in quanto tale; però se questo significa che non ti piace “dimostrare cose”, beh, ti direi di pensarci 500 volte prima di iscriverti a Matematica.

Per quanto riguarda i testi, posso consigliare il sempreverde Courant & Robbins, Che Cos’è la Matematica, Boringhieri (che puoi leggere anche in inglese qui).

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Purtroppo, più di così non posso fare per @ProPatria. Fossimo a marzo gli avrei linkato delle dispense libere (tipo questa o questa). Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).

@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.

marco2132k ha scritto:@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.

L’etimologia raramente è una definizione in Matematica.

@OP, sai che cos'è un anello? E più in generale, hai studiato qualcosa per conto tuo o ti sei attenuto a quanto fatto "a scuola"?

marco2132k ha scritto:

ProPatria ha scritto:Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica

Dimostra che ogni funzione \( f\colon S\to T \) suriettiva induce una biiezione \( S/{\mathrel{E}_f}\cong T \), dove \( {\mathrel{E}_f} \) è una relazione binaria in \( S \) definita come \( x\mathrel{E}_f y \) se e solo se \( f(x)=f(y) \) (tale relazione è di fatto una relazione di equivalenza, detta nucleo di equivalenza di \( f \)). Chi è tale biiezione quando \( f \) è la proiezione canonica di un prodotto cartesiano \( f=\pi_i\colon X_1\times X_2\to X_i \), per il tuo \( i=1,2 \) preferito?

La funzione $ f:Srarr T $ è suriettiva, ciò significa che ogni elemento di $ T $ è immagine di almeno un elemento di $ S $, cioè $ EE a in S| f(a)=q AAq in T $.
La relazione binaria $ E_f $ mette in relazione quelle coppie $ (x,y) $ tali che $ f(x)=f(y) $, con $ x,yin S $. $ E_f $ è inoltre una relazione di equivalenza, è infatti riflessiva ($ f(x)=f(x) $), simmetrica (se $ f(x)=f(y) $ allora $ f(y)=f(x) $) e transitiva (se $ f(x)=f(y) $ e $ f(y)=f(z) $ allora $ f(x)=f(z) $).
L'insieme \( S/{\mathrel{E}_f} \) ha quindi come elementi le classi di equivalenza $ (a_0,a_1,...,a_n) $ tali che $ f(a_0)=f(a_1)=...=f(a_n) $, con $ nin N $ e $ a_0,a_1,...,a_nin S $. Notiamo che n può essere 0 e la classe composta da un solo elemento, infatti $ E_f $ è riflessiva, cioè $ f(a_0)=f(a_0) $. In particolare ciò accade $ AA a_0inS|f(a_0)=q $ è immagine di un solo elemento di $ S $ (cioè di $a_0$), con $ qin T $.
Notiamo quindi che tra i due insiemi \( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ T $ sussiste una relazione biunivoca, infatti a ogni elemento $ qin T $ corrisponde un solo elemento $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) tale che $ f(p)=q $, e questo elemento $ p $:
è una classe di equivalenza $ (a_0) $ composta da un solo elemento $ a_0in S $ nel caso in cui $ f(a_0)=q $ è immagine di un solo elemento di $ S $. Si ha cioè $ f(a_0) = f(p)=q $, con $ a_0inS $, $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ qin T $;
è una classe di equivalenza $ (a_0,a_1,...,a_n) $ con $ nin N^+ $ composta da più elementi $ a_0,a_1,...,a_nin S $ tali che $ f(a_0)=...=f(a_n) $ nel caso in cui $ f(a_0)=...=f(a_n)=q $ è, appunto, immagine di più elementi di $ S $. Si ha quindi $ f(a_0)=...=f(a_n)=f(p)=q $ con $ a_0,...,a_ninS $, $ p in $\( S/{\mathrel{E}_f} \) e $ qin T $.

Credo che ciò che ho scritto limiti il campo agli insiemi finiti (ammesso che sia una dimostrazione valida). Scusa per il ritardo con cui ho risposto ma ci ho ragionato parecchio e molti concetti sono stati nuovi per me, per quanto riguarda la seconda domanda non conosco la risposta ma mi farebbe piacere se me la illustrassi nel modo più semplice possibile .