1) Se il buon senso te ne dà il permesso, preferisci al formalismo da lavagna ("\( \forall\epsilon>0\exists\delta>0|\dots \)") le parole. Il primo non aggiunge rigore al tuo argomento, mentre le seconde rendono più chiaro ciò che vuoi comunicare. (Quindi, "La funzione \( f \) ha per limite \( \lim_{x\to x_0}f(x) \) in \( x_0 \) il punto \( l \), se per ogni \( \epsilon>0\)...", e non... hai capito).
ProPatria ha scritto:La relazione binaria $E_f$ mette in relazione quelle coppie $(x,y)$ tali che $f(x)=f(y)$, con $x,yin S$.
2) La \( {\mathrel{E}_f} \) "mette in relazione" elementi di \( S \), non coppie di elementi di \( S \). Forse ti sei confuso con la definizione di relazione, che di fatto è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.
ProPatria ha scritto:L'insieme \(S/E_f\) ha quindi come elementi le classi di equivalenza $(a_0,a_1,...,a_n)$
3) Perché una classe di equivalenza dovrebbe essere finita?
ProPatria ha scritto:Notiamo che n può essere 0 e la classe composta da un solo elemento, infatti $E_f$ è riflessiva, cioè $f(a_0)=f(a_0)$
4) Se \( f \) è una funzione \( A\to B \) tra due insiemi \( A \) e \( B \) qualsiasi, alcuni definiscono la
fibra di un elemento \( b\in B \) come il sottoinsieme \( \left\{a\in A:f(a)=b\right\} \). Tale sottoinsieme può essere vuoto (quando \( f \) non è suriettiva), può contenere un solo elemento, o può contenerne tanti. Può accadere che tutte le fibre abbiano un solo elemento, e hai anche più o meno detto quando ciò avviene.
ProPatria ha scritto:Notiamo quindi che tra i due insiemi \(S/E_f\) e $T$ sussiste una relazione biunivoca, infatti a ogni elemento $q∈T$ corrisponde un solo elemento \(p\in S/E_f\) tale che f(p)=q
5) La \( f \) non prende in ingresso classi di equivalenza. Probabilmente stai chiamando con lo stesso nome, appunto, \( f\colon S\to T \) e la funzione (diciamo \( g \)) che stai costruendo.
Costruisci \( g\colon S/{\mathrel{E}_f}\to T \) mappando una classe di equivalenza \( C \) con l'immagine secondo \( f \) di un elemento di \( C \) scelto a ca**o. E dici che è biiettiva, perché (vd. sopra) la fibra di ogni punto di \( T \) ha un
unico elemento. Però non dimostri quest'ultima affermazione.
p.s. Se vuoi provare a mettertici un po' seriamente con le dispense, ti consiglio di cominciare da quelle di geometria. Perché partono dalla teoria degli insiemi, e quelle di A1 no. (In realtà sul sito di Paolini ci sono dei fogli introduttivi su insiemi e linguaggio matematico, cerca bene. Però non li ho mai letti, so solo che ci sono, quindi non te li ho segnalati.)