I metodi di bilanciamento sono bastai sul rapporto stechiometrico presente.
Non saprei dirti questo metodo, però io mi approccerei in questa maniera, per risolvere il bilanciamento:
Riscriverei la reazione con dei generici coefficienti stechiometrici (poiché la reazione avviene in soluzione acquosa aggiungo acqua ai reagenti):
$\mathcal{A}$ $Na_2SO_4$ $+$ $\mathcal{B}$ $Bi_2(SO_4)_3$ $+$ $\mathcal{C}$ $Fe_2(SO_4)_3$ $+$ $\mathcal{D}$ $H_2O$ $\rarr$ $\mathcal{E}$ $NaBiO_3$ $+$ $\mathcal{F}$ $FeS$ $+$ $\mathcal{G}$ $H_2SO_4$
Ed infine scriverei un bilanciamento per ogni singolo elemento.
${(\underbrace{2\mathcal{A}=\mathcal{E}}_{\text{Sodio - Na}}),(\underbrace{\mathcal{A}+3\mathcal{B}+3\mathcal{C}=\mathcal{F}+\mathcal{G}}_{\text{Zolfo - S}}),(\underbrace{4\mathcal{A}+12\mathcal{B}+12\mathcal{C}+\mathcal{D}=3\mathcal{E}+4\mathcal{G}}_{\text{Ossigeno - O}}),(\underbrace{2\mathcal{B}=\mathcal{E}}_{\text{Bismuto - Bi}}),(\underbrace{2\mathcal{C}=\mathcal{F}}_{\text{Ferro - Fe}}),(\underbrace{2\mathcal{D}=2\mathcal{G}}_{\text{Idrogeno - H}}):}$
Studiando il tipo di sistema lineare determino la varianza $v=\text{variabili}-\text{equazioni}=1$ perciò monovariante, quindi il sistema è determinato solo nel caso dovessimo conoscere il valore di una variabile (in questo caso la scelta è arbitraria)...
Perciò assumiamo ad esempio di avere 1 mole di $Na_2SO_4$, che implica $\mathcal{A}=1$, quindi il sistema risulterebbe:
${(2=\mathcal{E}),(1+3\mathcal{B}+3\mathcal{C}=\mathcal{F}+\mathcal{G}),(4+12\mathcal{B}+12\mathcal{C}+\mathcal{D}=3\mathcal{E}+4\mathcal{G}),(2\mathcal{B}=\mathcal{E}),(2\mathcal{C}=\mathcal{F}),(2\mathcal{D}=2\mathcal{G}):}$ $rarr$ ${(\mathcal{A}=1),(mathcal{B}=1),(mathcal{C}=2/9),(mathcal{D}=38/9),(mathcal{E}=2),(mathcal{F}=4/9),(mathcal{G}=38/9):}$ $rarr$ ${(\mathcal{A}=9),(mathcal{B}=9),(mathcal{C}=2),(mathcal{D}=38),(mathcal{E}=18),(mathcal{F}=4),(mathcal{G}=38):}$
Alla fine per utilizzare dei numeri interi per definire la stechiometria di reazione moltiplico tutto per 9... Allora:
$9$ $Na_2SO_4$ $+$ $9$ $Bi_2(SO_4)_3$ $+$ $2$ $Fe_2(SO_4)_3$ $+$ $38$ $H_2O$ $\rarr$ $18$ $NaBiO_3$ $+$ $4$ $FeS$ $+$ $38$ $H_2SO_4$
M.