Salve a tutti!
Sono alle prese con alcuni problemi di ottimizzazione e di programmazione dinamica applicati all'economia, e temo che le mie conoscenze matematiche non siano sufficienti per comprendere pienamente quello che dovrei fare (problema che ha due origini: overshooting da parte mia nella scelta del corso, e understatement da parte del professore nel definire i requisiti per seguire il corso).
In ogni caso, questo è il problema che devo risolvere.
Per provare che T è un contraction mapping, devo dimostrarne la monotonicità e poi il discounting (\(\displaystyle T(f+c)(x) \leq Tf+\beta c \)).
Io risolverei così:
\(\displaystyle f(s) \leq g(s) \)
\(\displaystyle \sup[\pi(s)-x+\beta \int f(s')p(s'|s,x)] \leq \sup[\pi(s)-x+\beta \int g(s')p(s'|s,x)] \)
\(\displaystyle (Tf)(s) \leq (Tg)(s) \)
per quanto riguarda la monotonicità. Per il discounting:
\(\displaystyle T(f+c)(s) \leq Tf+\beta c \)
\(\displaystyle T(f+c)(s)=\sup[\pi(s)-x+\beta \int f(s')p(s''|s,x)+c]=Tf(s)+\beta c \)
È completa (e corretta) la soluzione, secondo voi? Oppure ho perso alcuni pezzi del problema? L'unico esempio su cui posso basarmi non è stocastico e temo di non aver colto in pieno il problema.
Potete aiutarmi?