Equazione di Bellman e Contraction Mapping

Messaggioda LunaMinerva » 20/10/2017, 19:33

Salve a tutti!

Sono alle prese con alcuni problemi di ottimizzazione e di programmazione dinamica applicati all'economia, e temo che le mie conoscenze matematiche non siano sufficienti per comprendere pienamente quello che dovrei fare (problema che ha due origini: overshooting da parte mia nella scelta del corso, e understatement da parte del professore nel definire i requisiti per seguire il corso).

In ogni caso, questo è il problema che devo risolvere.

Per provare che T è un contraction mapping, devo dimostrarne la monotonicità e poi il discounting (\(\displaystyle T(f+c)(x) \leq Tf+\beta c \)).

Io risolverei così:

\(\displaystyle f(s) \leq g(s) \)

\(\displaystyle \sup[\pi(s)-x+\beta \int f(s')p(s'|s,x)] \leq \sup[\pi(s)-x+\beta \int g(s')p(s'|s,x)] \)

\(\displaystyle (Tf)(s) \leq (Tg)(s) \)

per quanto riguarda la monotonicità. Per il discounting:

\(\displaystyle T(f+c)(s) \leq Tf+\beta c \)

\(\displaystyle T(f+c)(s)=\sup[\pi(s)-x+\beta \int f(s')p(s''|s,x)+c]=Tf(s)+\beta c \)

È completa (e corretta) la soluzione, secondo voi? Oppure ho perso alcuni pezzi del problema? L'unico esempio su cui posso basarmi non è stocastico e temo di non aver colto in pieno il problema.

Potete aiutarmi?
LunaMinerva
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