Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda mobley » 31/10/2017, 18:47

Sto preparando l'esame di finanza quantitativa, sono ancora agli inizi di una lunga e tortuosa preparazione ma sto già incontrando le prime difficoltà: vi pongo i seguenti due quesiti :)

N°1 - Una banca può dare e prendere a prestito denaro al LIBOR flat. I tassi LIBOR a 2 e 3 mesi (composti continuamente) sono pari rispettivamente allo $0,28%$ e allo $0,10%$ annuo.
a) Dato che i tassi d'interesse non possono essere negativi, qual è l'opportunità di arbitraggio che la banca potrebbe sfruttare?
b) Qual è il livello minimo del LIBOR a 3 mesi compatibile con l'assenza di opportunità di arbitraggio?

N°2 - Considerate una banca che può dare e prendere a prestito denaro al LIBOR flat. I tassi LIBOR a 6 e 9 mesi (composti continuamente) sono pari rispettivamente al $5%$ e al $6%$ annuo. Con un FRA la banca potrebbe bloccare al $7%$ (composto continuamente) il LIBOR a 3 mesi tra 6 mesi. Qual è l'opportunità di arbitraggio che la banca potrebbe sfruttare?
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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda mobley » 07/11/2017, 16:11

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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda markowitz » 07/12/2017, 17:01

Per il caso 1 dovrebbe essere così:
la banca si finanzia sul mercato al LIBOR a due mesi ed a scadenza deve rimborsare
$exp(0,10%*2/12)=1,000167$
per ogni euro preso a prestito

ma investe gli stessi al LIBOR ad un mese ottenendo
$exp(0,28%*1/12)=1,000233$
per ogni euro investito

il secondo mese si tiene il cash a quindi dopo i due mesi guadagna la differenza.
Questo è l'arbitraggio. Ed è possibile perchè il tasso a termine dal primo al secondo mese risulta negativo,
dovrebbe essere $-0,08%$ annuo e la traccia è da intendere come possibilità di tenere cash a costo nullo
... solo a questa condizione i tassi negativi (diciamo) non hanno senso.

il caso 2 è molto simile

N.B: fino a quando studiavo io erano assurdi ma oggi i tassi negativi sono realtà.
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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda mobley » 22/12/2017, 10:45

Grazie markovitz,

scusa per il ritardo con cui ti rispondo ma non avevo proprio visto la tua risposta :?
Comunque credo tu abbia confuso i dati: il LIBOR a due mesi è lo $0,28%$, non lo $0,10%$. Se fosse stato l'inverso avresti avuto ragione, dato che prendendo a prestito a due mesi, investendo a tre mesi e rinnovando forward il prestito alla fine dei due mesi l'istituzione avrebbe bloccato un certo profitto forward. Tuttavia in questo caso, operando in tal modo, si arriverebbe a bloccare un profitto forward negativo di $ LIBOR_(F_(2,3))=(0,001xx3/(12)-0,0028xx2/(12))/(3/(12)-2/(12))=-0,0026=-0,26% $.
mobley
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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda markowitz » 22/12/2017, 17:59

mobley ha scritto:Grazie markovitz,

scusa per il ritardo con cui ti rispondo ma non avevo proprio visto la tua risposta :?

Prego.

Hai ragione sul fatto che lo $0,28%$ è il tasso a 2 mesi ... avrò letto di fretta infatti hai scritto:
mobley ha scritto:N°1 - Una banca può dare e prendere a prestito denaro al LIBOR flat. I tassi LIBOR a 2 e 3 mesi (composti continuamente) sono pari rispettivamente allo $ 0,28% $ e allo $ 0,10% $ annuo.

Io invece avevo inteso lo $0,28%$ ad un mese e $0,10%$ a due mesi. Tuttavia questo comporta solo un piccolo riaggiustamento delle scadenze

la banca si finanzia sul mercato al LIBOR a tre mesi ed a scadenza deve rimborsare
$ exp(0,10%*3/12)=1,00025 $
per ogni euro preso a prestito

ma investe gli stessi (presi a prestito) al LIBOR a due mesi ottenendo
$ exp(0,28%*2/12)=1,000467 $
per ogni euro investito ... ed il terzo mese li tiene in cassa ... poi rimborsa ed ottiene un guadagno certo di $0,000217$ euro per ognuno investito (e preso a prestito).

La sostanza non cambia. Ovvero ci si finanzia col tasso più a lungo e si investe l'ammontare preso a prestito al tasso più a breve realizzando un arbitraggio (strategia ad investimento netto nullo e guadagno positivo e certo). Succede a causa di una curva "troppo" invertita ... penso che il senso dell'esercizio fosse nell'arrivare a questa constatazione.
Infatti il punto "b" si risolve per un tasso LIBOR a tre mesi non inferiore allo $0,19%$ circa, ovvero quello che comporta un ...

Tu dici
mobley ha scritto:Comunque credo tu abbia confuso i dati: il LIBOR a due mesi è lo $ 0,28% $, non lo $ 0,10% $ [che è a tre mesi]. Se fosse stato l'inverso avresti avuto ragione, dato che prendendo a prestito a due mesi, investendo a tre mesi e rinnovando forward il prestito alla fine dei due mesi l'istituzione avrebbe bloccato un certo profitto forward. Tuttavia in questo caso, operando in tal modo, si arriverebbe a bloccare un profitto forward negativo di $ LIBOR_(F_(2,3))=(0,001xx3/(12)-0,0028xx2/(12))/(3/(12)-2/(12))=-0,0026=-0,26% $.


e no! Penso proprio ti sia confuso tu. Se fosse stato l'inverso (curva positivamente inclinata) non si potrebbe fare nessun arbitraggio. Infatti quello che hai provato a descrivere non sarebbe un arbitraggio. Inoltre anche il prosieguo è sbagliato perché torni a fare i conti con la curva negativamente inclinata ed infatti il tasso fwd che trovi è quello "vero".
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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda mobley » 23/12/2017, 11:43

markowitz ha scritto:e no! Penso proprio ti sia confuso tu. Se fosse stato l'inverso (curva positivamente inclinata) non si potrebbe fare nessun arbitraggio.


Ok, vediamo se ho capito. Ti faccio quest'altro esempio.
Considera una struttura a pronti positivamente inclinata del tipo:
1 3,0
2 4,0
3 4,6
4 5,0

con prima colonna gli anni e la seconda i relativi tassi. Ciò implica una ZRC positivamente inclinata, come anche la struttura a termine. Nonostante ciò supponiamo che un'operatore ritenga probabile una futura riduzione dei tassi (il che implica un forward a 1 anno tra 1 anno minore del forward a 1 anno oggi). Per questo decide di bloccare l'attuale profitto forward prendendo a prestito al 3% per 1 anno, reinvestendo al 4% per 2 anni e rinnovando forward il prestito alla fine del primo anno. Prendendo a prestito in $t_0$ $100€$ al 3% annuo per 1 anno paga al termine del primo anno $100€e^(0,03×1)=103,0455$. Investendo, sempre in $t_0$, i $100€$ finanziati al 4% annuo per 2 anni guadagna al termine del secondo anno $100€e^(0,04×2)=108,33€$. Riesce dunque a bloccare un tasso forward del $103,0455€e^(0,05×1)=108,33€ → R_F=5%$ per un profitto da arbitraggio di $5,28€$.

In questo caso mi sono finanziato al tasso più breve e ho investito al tasso più lungo. Nel nostro caso, invece, abbiamo una ZRC negativamente inclinata (ergo anche la struttura a termine), per cui mi finanzio al tasso più lungo e investo al tasso più breve. Il profitto da arbitraggio è giustamente è $100,0467€-100,025€=0,0217€$ e il tasso forward che riesce a bloccare è $ 100,0467€e^(-0,0025xx1/(12))=100,025€->R_F=0,25% $ .
E naturalmente lo zero rate che garantisce assenza di arbitraggio è almeno lo $0,19%$, dato che si avrebbe $ 100€e^(0,0019xx3/(12))-100€e^(0,0028xx2/(12))=0 $ .
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Re: Gioco della curva dei tassi di rendimento

Messaggioda markowitz » 23/12/2017, 14:26

mobley ha scritto:Ok, vediamo se ho capito. Ti faccio quest'altro esempio.
Considera una struttura a pronti positivamente inclinata del tipo:
1 3,0
2 4,0
3 4,6
4 5,0

con prima colonna gli anni e la seconda i relativi tassi. Ciò implica una ZRC positivamente inclinata, come anche la struttura a termine. Nonostante ciò supponiamo che un'operatore ritenga probabile una futura riduzione dei tassi (il che implica un forward a 1 anno tra 1 anno minore del forward a 1 anno oggi). Per questo decide di bloccare l'attuale profitto forward prendendo a prestito al 3% per 1 anno, reinvestendo al 4% per 2 anni e rinnovando forward il prestito alla fine del primo anno. Prendendo a prestito in $ t_0 $ $ 100€ $ al 3% annuo per 1 anno paga al termine del primo anno $ 100€e^(0,03×1)=103,0455 $. Investendo, sempre in $ t_0 $, i $ 100€ $ finanziati al 4% annuo per 2 anni guadagna al termine del secondo anno $ 100€e^(0,04×2)=108,33€ $. Riesce dunque a bloccare un tasso forward del $ 103,0455€e^(0,05×1)=108,33€ → R_F=5% $ per un profitto da arbitraggio di $ 5,28€ $.

No mobley, non hai capito la logica degli arbitraggi tramite tassi fwd.
Il fatto che un operatore si aspetti un tasso futuro (o una curva) non coincidente con quella attuale e/o possegga aspettative non coincidenti con quelle implicite nei tassi fwd, non produce alcuna possibilità di arbitraggio.
Se, come ipotizzi, un operatore ritiene probabile una "riduzione dei tassi", questo, se intendo bene ciò che hai in mente, implica che esso è in disaccordo con il tasso fwd (a 1 anno tra 1 anno) del $5%$. Ovvero tale $5%$, che in certo senso è implicato come aspettativa del tasso spot a 1 anno tra 1 anno dalla curva zc che hai scritto (lascia perdere le inplicazioni sul tasso fwd(1,1) in vigore tra 1 anno), non è in linea con le sue aspettative che invece sono più basse.

Nell'esempio che riporti l'ultimo pezzo (quello sottolineato) non ha senso. L'operatore non blocca nessun "guadagno fwd" (che tra l'altro è una terminologia tutta tua). Tu hai solo trovato il tasso fwd (ad 1 anno tra 1 anno) "di equilibrio" ed infatti è quello implicato dalla struttura a termine che hai scritto (gli altri sono $5,8%$ e $6,2%$).
Nell'esempio che riporti l'unica cosa che l'operatore potrebbe fare è rifinanziarsi tra un anno, per un anno, al tasso spot a 1 anno allora quotato. Tasso che a sua opinione sarà $<5%$ e quindi al termine dei due anni (contati a partire da $t_0$) ci guadagnerà qualcosa. Ma è una strategia rischiosa, non è sicuro che la sua aspettative si realizzi ... potrebbe pure perdere. Ovvero non è un arbitraggio.
Il tasso fwd(1,1)=$5%$ è calcolato esattamente allo scopo di rendere impossibili gli arbitraggi. Se si realizza il $5%$ la strategia sopra si chiude "pari".
Arbitraggi sono possibili solo se tra tassi "fwd teorici e/o di equilibrio" e di mkt vi sono disallineamenti.
L'esempio trattato in origine porta a costruire un arbitraggio "a prescindere" solo in virti "dell'assurdo" dei tassi negativi.

Vedrai che con la pratica tutto si chiarirà.
Spero di essere stato utile.
markowitz
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