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Buonasera a tutti,

sto cercando di risolvere il problema di massimizzazione per la funzione $ f(x,y)= {log (x+4) + log y}/2 $ dati i vincoli $ 2x^2+y-5=0 $ e $ x>0 $ utilizzando le condizioni di K-T.

Ciò che mi mette in difficoltà è il fatto che uno dei due vincoli sia un'equazione (e non una disequazione, come solitamente accade in questo tipo di esercizi).

Ho tentato di risolvere il problema scrivendo la lagrangiana $L(x,y,λ,µ)= {log (x+4) + log y}/2+λ(2x^2+y-5)+µ(-x)$, calcolando le quattro derivate parziali ed esaminando i vari casi in cui i due moltiplicatori sono maggiori/uguali a zero. I risultati che ho otenuto, però, sono tutt'altro che convincenti: parrebbe che nessun punto soddisfi le condizioni.

Qualcuno saprebbe dirmi in che modo variano le condizioni in questo caso (con un'equazione e una disequazione anziché due disequazioni) e quali modifiche bisogna apportare al sistema di risoluzione usuale per giungere alla soluzione?
Grazie mille!

Ciao, le condizioni di Kuhn-Tucker in questo caso sono miste: sei di fronte ad un problema di massimizzazione vincolata mista in cui ti si pongono due vincoli ( per correttezza i vincoli con la massimizzazione devono essere tutti minori o uguali a zero quindi il vincolo diviene $-x<0$) Puoi porre le condizioni in questo modo:
$ λ(2x^2+y−5)=0;$
$ µ(−x)>=0; $
$2x^2+y−5=0 $
$-x=0; µ>=0$

Ho risolto velocemento e ho trovato due punti:
CASO 1: VINCOLO DISATTIVATO $(μ =0)$
$A(sqrt(5/2);0)$
$B(sqrt(-5/2),0)$
I punti sembrano soddisfare i vincoli, infatti se vai a sostituire:
$2(sqrt(5/2)+0-5=0$ è verificata

CASO 2: VINCOLO ATTIVATO $(μ >0)$
Non troviamo una soluzione poichè se vai a risolvere il sistema ritrovi che il tuo moltiplicatore è uguale a 0 e questo viola la tua condizione iniziale.

A questo punto crea la matrice Hessiana orlata:

$ B= ( (0,4x,1) , (4x, -2/(2x+8)^2, 0) , (1,0,-1/y^2) ) $

$LPM= (n-(k+m)) $
(con n variabili, m vincoli attivi, k vincoli con uguaglianza)
in questo caso:
LPM= 2-(1+0)=1
Si calcola allora il determinante della Matrice B e controlli se è punto di massimo o minimo o sella.

(spero di non aver fatto errori con i calcoli, volevo soltanto darti un suggerimento di risoluzione)

ciao! intervengo un po' per curiosità ed un po' per perplessità. premetto che non conosco assolutamente l'argomento e quindi ciò che sto per dire potrebbe essere totalmente inutile, me ne scuso in anticipo nel qual caso!
il punto B è complesso, è possibile/accettabile questa cosa?

cooper ha scritto:ciao! intervengo un po' per curiosità ed un po' per perplessità. premetto che non conosco assolutamente l'argomento e quindi ciò che sto per dire potrebbe essere totalmente inutile, me ne scuso in anticipo nel qual caso!
il punto B è complesso, è possibile/accettabile questa cosa?

No, è solo una svista, il "-" dovrebbe essere fuori dalla radice.

Quanto al problema dato, mi fa impressione vedere con quanta allegra disinvoltura si trasforma un "$>$" in un "$\ge$".
Ma sì, dopotutto che noia distinguere tra aperti e chiusi, Per così poco...

Un po' più seriamente, sarebbe meglio dedicare ("allocare", vista la sezione in cui ci troviamo) più tempo a pensare che non a fare conti inutili

grazie per il chiarimento!

Cate93 ha scritto:Ciao, le condizioni di Kuhn-Tucker in questo caso sono miste: sei di fronte ad un problema di massimizzazione vincolata mista in cui ti si pongono due vincoli ( per correttezza i vincoli con la massimizzazione devono essere tutti minori o uguali a zero quindi il vincolo diviene $-x<0$) Puoi porre le condizioni in questo modo:
$ λ(2x^2+y−5)=0;$
$ µ(−x)>=0; $
$2x^2+y−5=0 $
$-x=0; µ>=0$

Ti ringrazio! Mi lascia solo perplesso quel $-x=0$ all'ultima riga, dal momento che il problema impone $x>0$
Nella soluzione che ho provato a proporre (ho consegnato l'esercizio la settimana scorsa), ho scritto le condizioni come segue:
$λ ≥ 0$
$μ ≥ 0$
$λ[5 − 2x^2 − y^2 ] = 0$
$μx = 0$

In seguito ho distinto 4 casi: due di essi ($λ = 0, μ > 0$ e $λ =μ =0$) risultano impossibili: $1/{2y} = 0 \Rightarrow non \exists y \in \R $, il terzo ($λ>0, μ > 0$) dà $y=\pm\pm \sqrt{5} \Rightarrow μ=-1/8 $ e, quindi, viola la seconda condizione. Infine per $λ > 0, μ = 0$ risolvendo l'equazione di secondo grado si ha $x=1/2$ o $x=-2/5$ (ma il secondo valore dev'essere escluso per la condizione di positività di x) e $y=\pm \frac{3 \sqrt 2}{2}$.

Ho, quindi, concluso che le soluzioni sono $x_1=\frac{1}{2}; x_2 = \pm \frac{3 \sqrt 2}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{1}{18}; \mu = 0$.

Fioravante Patrone ha scritto:Un po' più seriamente, sarebbe meglio dedicare ("allocare", vista la sezione in cui ci troviamo) più tempo a pensare che non a fare conti inutili

Chiaramente, non vi chiedo di fare i calcoli che sarebbe un'enorme perdita di tempo... Vorrei, piuttosto, chiedervi se -a vostro avviso- la struttura della risoluzione ha senso.

Mi arrendo...

L'unica nota di saggezza (ma con soggezione non dovuta) è:

DavidB ha scritto:...
Ti ringrazio! Mi lascia solo perplesso quel $-x=0$ all'ultima riga, dal momento che il problema impone $x>0$
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