Esercizio Microeconomia ( Saggio marginale di sostituzione ) )

Messaggioda scoy97 » 07/09/2018, 13:18

Buonasera ragazzi, ho dei dubbi su questo esercizio:

Un consumatore spende il proprio reddito R nell'acquisto di gelati (G) e torte(T). La struttura delle preferenze del consumatore ha le seguenti caratteristiche:

SMS= -4 per G>(3/4)*T
SMS= -1/4 per G<=(3/4)*T
dove SMS è il saggio marginale di sostituzione
Si sa inoltre che il prezzo di T è doppio di quello di G

a) Determinare le funzioni di domanda dei due beni
b) Determinare gli effetti di reddito e di sostituzione nel caso che il prezzo di T si dimezzi.

Basandomi su un esercizio simile ( Teoria della produzione, quindi SMST anzichè SMS ), la soluzione per ricavare le funzioni di domanda è impostare il sistema:
G=(3/4)*T
R=gG+2gT

(dove R è il reddito e g è il prezzo del bene g )

Io non capisco in primis la prima equazione che viene utilizzata ( anche graficamente non capisco come si trova la soluzione)
Inoltre mi viene dato il SMS che è uguale a
SMS=UM1/UM2, ma come capisco se al numeratore è il bene 1 o il bene 2.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questo esercizio ne sarei grato.

Grazie mille
scoy97
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 08/09/2018, 15:32

scoy97 ha scritto:... come capisco se al numeratore ...

In base al criterio dell'utilità marginale decrescente. Quindi:

Bene 1: torta $^^$ Bene 2: gelato

Immagine

Inoltre, poichè le curve di indifferenza presentano un punto angoloso in corrispondenza della retta:

$3x_1-4x_2=0$

il paniere ottimale $P$ è il suo punto di intersezione con la retta che rappresenta il vincolo di bilancio:

$\{(3x_1-4x_2=0),(p_1x_1+p_2x_2=R):} rarr \{(x_2=3/4x_1),((4p_1+3p_2)x_1=4R):} rarr \{(x_1=(4R)/(4p_1+3p_2)),(x_2=(3R)/(4p_1+3p_2)):}$

In definitiva, le funzioni di domanda dei due beni sono:

$[x_1(p_1,p_2,R)=(4R)/(4p_1+3p_2)] ^^ [x_2(p_1,p_2,R)=(3R)/(4p_1+3p_2)]$
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Re: Esercizio Microeconomia ( Saggio marginale di sostituzione ) )

Messaggioda scoy97 » 09/09/2018, 13:50

Grazie mille per la risposta.
Per quanto riguarda il secondo punto invece, generalmente io applico il metodo di Hicks per distinguere i due effetti.
Ma in questo caso non ho la funzione dell'utilità, quindi come riesco a trovarmi le funzioni di domanda compensata?
scoy97
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 09/09/2018, 21:40

scoy97 ha scritto:... in questo caso non ho la funzione di utilità ...

Si può ricavare dalle curve di indifferenza:

Funzione di utilità

1. $[3x_1-4x_2 gt= 0] rarr [U_1(x_1,x_2)=a(x_1+4x_2)]$

2. $[3x_1-4x_2 lt= 0] rarr [U_2(x_1,x_2)=b(4x_1+x_2)]$

Infatti:

1. $[U_1(x_1,x_2)=C] rarr [a(x_1+4x_2)=C] rarr [x_2=-1/4x_1+C/(4a)] rarr [m=-1/4]$

2. $[U_2(x_1,x_2)=C] rarr [b(4x_1+x_2)=C] rarr [x_2=-4x_1+C/b] rarr [m=-4]$

Il valore delle costanti $a$ e $b$ si determina imponendo che sia $[U_1=U_2]$ quando $[3x_1-4x_2=0]$:

$[a(x_1+4x_2)=b(4x_1+x_2)] rarr [(a-4b)x_1+(4a-b)x_2=0] rarr [(a-4b)/(4a-b)=-3/4] rarr $

$rarr [4a-16b=-12a+3b] rarr [b=16/19a] rarr \{(a=19),(b=16):}$

In definitiva:

Funzione di utilità

1. $[3x_1-4x_2 gt= 0] rarr [U(x_1,x_2)=19(x_1+4x_2)]$

2. $[3x_1-4x_2 lt= 0] rarr [U(x_1,x_2)=16(4x_1+x_2)]$

Immagine

scoy97 ha scritto:... applico il metodo di Hicks ...

Trattandosi di un caso particolare, i due tratti delle curve di indifferenza sono lineari, non escludo che si possa procedere anche in modo più elementare.
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