Problema matematica finanziaria - Regime composto

Messaggioda Alessandro Cerutti » 11/10/2018, 07:08

Salve a tutti.
Nello studio della matematica finanziaria mi sono imbattuto in questo esercizio, che credo di aver svolto correttamente ma non ne sono sicuro, non avendo purtroppo un risultato:

Trovare tasso annuo se per un capitale investito di 9000 dopo 4 anni e 5 mesi ottengo 11000€.
Calcolare inoltre il tempo necessario per raddoppiare il capitale investito allo stesso tasso calcolato sopra.


Nell'esercizio non è riportato quale regime io debba usare, e ho utilizzato il regime composto. Solitamente se non è indicato, quale dei due regime è da adottare?

SVOLGIMENTO:
Ho calcolato il tasso secondo la formula inversa del regime composto --> i= t√(Mt/C) - 1

Il tasso trovato l'ho utilizzato nella formula per calcolare il tempo (secondo quesito) -->
t = (Log M - Log C)
________________
Log(1+i)
utilizzando come montante 18000, ossia il capitale investito raddoppiato.

Le formule le ho trovate qui:
tasso --> http://www.ripmat.it/mate/n/nb/nbaccb.html
tempo --> http://www.ripmat.it/mate/n/nb/nbaccc.html

È corretta la procedura? Grazie in anticipo a chi mi da una mano!
Alessandro Cerutti
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Re: Problema matematica finanziaria - Regime composto

Messaggioda Gughigt » 14/10/2018, 17:03

Ciao! Sembra che relativamente al primo punto tu abbia ragionato in modo corretto, però, vista la richiesta del secondo punto credo che sia necessario fare un chiarimento sul tasso da ricercare più che altro per un discorso di comodità nei vari passaggi. Il fatto che il regime non sia specificato ti ha giustamente portato a supporre l'uso del regime composto, benissimo! Sicuramente, studiando le varie proprietà dei regimi di interesse avrai notato che il composto è altresì esprimibile come $ e^(delta*t) $ (se non capisci tale passaggio consiglio di andarti a studiare da dove proviene questa formulazione cfr. scindibilità del regime composto)1
siano $ W_0 $ la ricchezza iniziale, $ W_1 $ la ricchezza finale, $ delta $ il tasso di interesse annuo composto continuamente e sia inoltre $ t=53/12 $.
A questo punto la relazione tra i due stock è banale e cioè:
$ W_0 * e^[delta*(53/12)]=W_1 $ .
vale a dire che il tasso richiesto è:
$ delta= ln ((W_1)/(W_0))*((12)/(53)) hArr delta=0.04543 $
Riguardo al secondo punto, invece:
$ W_0* e^[delta*t]=2*W_0 $
e cioè:
$ t=(ln ((2*W_0)/(W_0)) ) /(delta) hArr t=(ln(2)) / (0.04543)~= 15.27 $ anni
Spero di esserti stato d'aiuto! Se avessi bisogno di altro chiedi pure.

Note

  1. Se non ne avessi voglia considera banalmente $ ln (1+i)-=delta $ dove $ i $ è il tasso annuo composto (non continuamente)
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Gughigt
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Re: Problema matematica finanziaria - Regime composto

Messaggioda Alessandro Cerutti » 16/10/2018, 19:46

Innanzitutto grazie infinite! Sono andato a studiarmi la scindibilità del regime composto nonché il concetto dell'intensità istantanea di interesse, e ho così compreso la tua procedura (o almeno credo) e meglio la mia stessa procedura.

I miei risultati, con le formule che ho indicato nella domanda iniziale sono molto simili:
per quanto riguarda il tasso:
i= 0,046482849 (tasso annuo composto, non continuamente)

per quanto riguarda il tempo:
t = 15,26 anni

Ovviamente, se il tasso risulta leggermente differente, lo sarà anche il tempo. Volevo chiederti se il tasso di interesse che hai calcolato è un $ delta $ o un tasso annuo composto (i) non continuamente Lo svolgimento dell'esercizio richiede un'analisi teorica ben fatta come la tua per arrivare al secondo punto o basterebbe semplicemente applicare le formule che ho adottato, in questo caso?

Grazie mille per il tuo aiuto!
Alessandro
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Re: Problema matematica finanziaria - Regime composto

Messaggioda Gughigt » 18/10/2018, 15:25

Alessandro Cerutti ha scritto:Innanzitutto grazie infinite! Sono andato a studiarmi la scindibilità del regime composto nonché il concetto dell'intensità istantanea di interesse, e ho così compreso la tua procedura (o almeno credo) e meglio la mia stessa procedura.

I miei risultati, con le formule che ho indicato nella domanda iniziale sono molto simili:
per quanto riguarda il tasso:
i= 0,046482849 (tasso annuo composto, non continuamente)

per quanto riguarda il tempo:
t = 15,26 anni

Ovviamente, se il tasso risulta leggermente differente, lo sarà anche il tempo. Volevo chiederti se il tasso di interesse che hai calcolato è un $ delta $ o un tasso annuo composto (i) non continuamente Lo svolgimento dell'esercizio richiede un'analisi teorica ben fatta come la tua per arrivare al secondo punto o basterebbe semplicemente applicare le formule che ho adottato, in questo caso?

Grazie mille per il tuo aiuto!
Alessandro

Ma figurati!
Il tuo risultato è corretto, infatti facendo $ ln(1+0.04648) $ ottieni il valore $ delta=0.04543 $ che è quello indicato poco più sopra.
Relativamente al tempo necessario al raddoppio del capitale a quel tasso in regime composto ti consiglio sempre di partire ragionando dalle relazioni di base e cioè ponendoti la domanda:
"se ho la somma $W_0$ oggi, in capitalizzazione composta al tasso $i$, quanto impiegherò per ottenere due volte $W_0$?"
formalmente è la relazione impostata sopra e cioè: $ W_0* (1+i)^(t)=2*W_0 $ con mezza riga di passaggio in più dai un senso logico all'esercizio e non consideri la formula come "manna piovuta dal cielo", anche perché così facendo azzeri la possibilità di cadere in errore.
Quanto al risultato che hai ottenuto sul tempo è evidentemente un mismatch dovuto all'arrotondamento perché il tasso composto annuo e quello composto continuamente ($delta$) sono del tutto equivalenti nonostante si usino con leggi diverse (nota che $(1+i)^(t)=e^(delta*t)$).
Il tempo deve necessariamente essere lo stesso a scanso di errori nell'utilizzo dei tassi (e.g. usare il tasso continuo in modo improprio inserendolo nella formula di capitalizzazione composta discretamente).
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Re: Problema matematica finanziaria - Regime composto

Messaggioda Alessandro Cerutti » 19/10/2018, 13:50

Ottimo, grazie mille ancora per il chiarimento e per avermi aiutato nella comprensione della teoria!!!
Alessandro Cerutti
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