Esercizio Matematica Finanziaria

[Totoro]

Ciao a tutti ragazzi, prossimamente ho un esame di matematica finanziaria e non riesco a svolgere correttamente un esercizio, pertanto chiedo il vostro aiuto..
L'esercizio è il seguente:

In un mercato obbligazionario perfetto, oggi è in vigore la seguente struttura dell’intensità istantanea d’interesse:
Delta (0,t) = alfa log(2t+1).
Il prezzo oggi di un contratto forward unitario con data di consegna 8 mesi e scadenza un anno è di 0,99.
Calcolare il tasso a-pronti con scadenza tre anni.

Vi ringrazio anticipatamente
Ps: ho scritto delta e alfa perché mi dava errore.

[Gughigt]

Ciao!
Sicuro di aver scritto bene e di non aver omesso niente dalla traccia? In particolare sei sicuro che sia log (presumo quindi in base 10) e non il logaritmo naturale? Mi confermi che la legge seguita dal tasso continuo è la seguente $ delta(0,t)=alpha* ln(2t+1) $?

[Totoro]

No, è proprio log.

[Gughigt]

Ok.
Prezzo del forward:
$ V(0,8,12)=(V(0,12))/(V(0,8))$
Il prezzo spot ad un anno è:
$ V(0,12)=V(0,8)*V(0,8,12) $
Ora per calcolare il tasso spot a tre anni ci sarebbe la necessità quanto meno di un tasso spot intermedio (e.g. 2 anni) ed un tasso forward (da 2 a 3 anni).
Vista questa legge di moto del tasso "inusuale"¹ ipotizzo che il teorema dei prezzi impliciti (che ti ho enunciato due righe sopra) non sia valido e che banalmente valga la relazione seguente:
$ delta(0,8,12)=alpha*log(2t+1) $
allora il prezzo del suddetto forward è:
$ V(0,8,12)=e^(-delta(0,8,12)) harr e^(-(log(2*4/12+1)^alpha))=0.99 $
Da questa trovi $alpha$ e poi sostituendo $ 36/12 $ al posto di $t$ nella struttura del tasso continuo trovi il prezzo spot a 3 anni.
Spero di essere stato abbastanza chiaro! Se avessi bisogno di altro chiedi pure.

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Note

1. nonché inutile e surreale ↑

[Totoro]

Sei stato gentilissimo, ti ringrazio ma non ci capisco niente lo stesso ahah

[Totoro]

Solitamente per esercizi del genere i passaggi che eseguo sono:
1) Prezzo oggi del forward = v(0, 1) / v(0, consegna), da qui eliminavo il denominatore v(0, consegna) moltiplicandolo per il prezzo forward e poi semplificavo utilizzando il logaritmo naturale, con cui il prezzo mi diventa un numero negativo e i prezzi a pronti diventano gli esponenti (viene eliminata la e).
2) Da qui trovo il valore di alfa e sostituisco.

Non credo siano corretti, specie dalla parte 2 in poi, soprattutto perché i prezzi mi escono crescenti nel tempo

[Gughigt]

[...]
Vista questa legge di moto del tasso "inusuale" ipotizzo che il teorema dei prezzi impliciti (che ti ho enunciato due righe sopra) non sia valido e che banalmente valga la relazione seguente:
$ delta(0,8,12)=alpha*log(2t+1) $
allora il prezzo del suddetto forward è:
$ V(0,8,12)=e^(-delta(0,8,12)) harr e^(-(log(2*4/12+1)^alpha))=0.99 $
Da questa trovi $ alpha $ e poi sostituendo $ 36/12 $ al posto di $ t $ nella struttura del tasso continuo trovi il prezzo spot a 3 anni.

La soluzione è questa:
$e^(-(log(2*4/12+1)^alpha))=0.99 harr -log(2*4/12+1)^alpha=ln(0.99)$
$ alpha*0.2218=0.010 harr alpha=0.0453$
il prezzo spot a 3 anni è:

$e^(-0.0453*log(2*3+1))=0.9624 $ e il tasso banalmente:
$ delta(0,36)=alpha*log(2t+1)=0.0453*log(2*(36)/(12)+1)=0.0383 $
Come vedi non era richiesto l'uso del cd "teorema dei prezzi (tassi) impliciti" ed evidentemente la struttura proposta dall'esercizio per il tasso continuo mostra valori crescenti nel tempo (perfettamente coerente con le teorie della term structure ed un po' meno con l'attuale situazione del Venezuela ), di conseguenza il prezzo degli ZCB sarà decrescente nel tempo ( $ (dV(t,T))/(dt)<0 $ ) come postulato dalla "decrescenza rispetto alla scadenza".
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi ora!

[Totoro]

Grazie ancora per la risposta, ma non riesco a capire da dove esce il 3/12 che metti più volte

[Gughigt]

Hai ragione, sono $ (4)/(12) $. Non so perché ma ero convinto che il forward fosse di 3 mesi!
I passaggi da fare sono sempre quelli, ti modifico il post di sopra

[Totoro]

Ma sarebbe la differenza tra 12 e 8 mesi?