Mercati completi

[Walter97lor]

Ciao a tutti,
posto qui un quesito relativo alla completezza della matrice delle attività finanziarie.
So che un mercato si dice completo quando il numero di stati del mondo è pari al numero di attività finanziarie.
Avendo la matrice di attività finanziarie si può dire che l'economia è completa se il numero di att. finanziarie linearmente indipendenti tra loro è pari al numero di stati del mondo, per risolvere il problema si utilizzano i metodi dell'algebra lineare.
Nonostante ciò, esiste qualche tecnica più veloce per determinare la completezza di una matrice? In sede di esame il docente ha specificato che non avremmo avuto il tempo di determinare la completezza della matrice (facendo intendere l'esistenza di un'altra "via") tentando di risolvere un sistema, per la verifica dei vettori linearmente indipendenti. Vi faccio degli esempi:

$ [ ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 4 , 5 , 6 , 7 ),( 4 , 0 , 0 , 1 ),( 8 , 10 , 12 , 14 ) ] $

che non è completa, ma non capisco qual è il criterio e cosa devo osservare. Ancora:

$ [ ( 3 , 4 , 6 , 5 ),( 4 , 5 , 8 , 6 ),( 4 , 5 , 6 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ] $

quest'ultima è invece completa.
Grazie a chi sarà in grado di aiutarmi.

[Gughigt]

Sinceramente faccio fatica a comprendere la domanda. Chiedi come capire se una matrice è completa, ok banalmente la matrice "completa" è quella ottenuta orlando il vettore delle soluzioni alla matrice dei coefficienti (che appunto si chiama incompleta). Non credo che però tu ti riferisca a questo.
Un mercato è evidentemente completo se e solo se gli asset presenti (i.e. non ridondanti) sono pari al numero di scenari possibili. Il senso di quello che ho appena detto sta nel fatto che se un mercato è così configurato puoi costruire qualsiasi payoff tu desideri.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Non so quanto approfondite siano le tue conoscenze, ma se ci pensi questa ipotesi è alla base di pressoché tutti i modelli di pricing basati sull’assenza di opportunità di arbitraggio: è dalla replica che, ad esempio, si arriva alla PDE del modello Black-Scholes-Merton così come per quanto riguarda l’approccio risk neutral di Cox-Ross-Rubistein.

Se vuoi conoscere "velocemente" il massimo numero di vettori linearmente indipendenti presenti in una matrice tieni presente che ti basta determinarne la caratteristica (altrimenti nota come rango).
Per quanto riguarda:

$A=[ ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 4 , 5 , 6 , 7 ),( 4 , 0 , 0 , 1 ),( 8 , 10 , 12 , 14 ) ]$

si ha che $r(A)=3$, vale a dire che il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è $3$ e non coincide con i $4$ possibili stati del mondo e cioè il mercato è incompleto.
Relativamente a:

$ B=[ ( 3 , 4 , 6 , 5 ),( 4 , 5 , 8 , 6 ),( 4 , 5 , 6 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ] $

si ha invece $r(B)=4$ e cioè il mercato è completo.
Se il mercato non fosse completo come nel caso della matrice $A$ ci sono meno asset di possibili stati del mondo, formalmente $r(A)=3<4$ potresti non riuscire a replicare (coprire) una posizione sempre relativamente ad uno specifico asset, ad esempio, $ul(b) $, in altre parole $A*ul(x)=ul(b)$ non è sempre risolvibile ma puoi coprirti cercando una buona approssimazione (servendoti e.g. dei risultati ottenuti da Redington e da Fisher & Weil ).
Spero di averti aiutato e se avessi bisogno di altro chiedi pure.
P.S.:ho dato per scontato il fatto che tu sapessi cosa fosse il rango di una matrice (per questo ho evitato di riportare i passaggi) ma di fatto non lo so; eventualmente ti chiedo scusa per questo.

[Walter97lor]

Grazie mille, sei stato molto d'aiuto. Hai centrato perfettamente il problema (nonostante la brutalità con cui l'ho posto).
Grazie ancora.