Tir portafoglio titoli

[Janedoe07]

Buongiorno,
Ho un problema con un esercizio di matematica Finanziaria.
".. Acquistare un portafoglio costituito da 90 tcf e 120 tcn.
Tcf: scadenza 10 anni, cedole semestrali, tasso nominale annuo 5% e valore nominale 1000.
Tcn: scadenza 3 quadrimestri e valore nominale 1000.
S=220000."

Quindi mi mancano i prezzi dei titoli e i tir.
Ho provato utilizzando l'equazione del portafoglio, ma non avendo i prezzi è stato inutile, ho pensato di integrarlo in un sistema con un'altra equazione, ma non saprei quale.

Poi ho calcolato le cedole, successivamente ho pensato di calcolarmi il tir utilizzando il metodo delle corde, prendendo come prezzo di riferimento S, ovviamente è stato un tentativo inutile, ho anche provato a moltiplicare i passaggi del metodo delle corde con la somma delle quote. (non so se è un passaggio sensato e/o giusto, però ho provato) alla fine dei passaggi mi è uscito un tasso di interesse che ho utilizzato per calcolarmi i prezzi.
Ho anche provato a procedere ipotizzando che il tcf sia emesso alla pari, ma poi il prezzo del portafoglio non mi coicide con il prezzo della traccia.
Volevo quindi chiedervi se ha senso moltiplicare per le quote o se si fa il qualche altro modo. Grazie mille.

[Gughigt]

Ciao e benvenuto. Per $S$ intendi il valore oggi del portafoglio?

[Janedoe07]

Ciao, grazie.
Si S è il prezzo del portafoglio.

[Gughigt]

Prendi un foglio, tira una linea (asse dei tempi) e vedi cosa accade ad ogni scadenza.
Quando avrai capito bene che succede attribuisci le quote di portafoglio a ciascun titolo e moltiplica.
Non rendere complesse cose che non lo sono, gli esercizi di questo tipo (e molti altri) si risolvono con ragionamenti semplici.

[Janedoe07]

Ciao,
Perdonami mi sento davvero stupida, ma proprio non riesco a capire come procedere. Ho fatto la linea del tempo, ma senza tasso di interesse e senza prezzo non so come andare avanti.
Moltiplicando i valori facciali per le quote arrivo più o meno a quello che è il mio prezzo di portafoglio, ma non penso che questo mi sia utile.
Probabilmente é molto più semplice di quello che penso io, ma non ci arrivo.

[Gughigt]

Il prezzo oggi di ciascuno dei due strumenti è inglobato in $S=220000$. Evidentemente di quei $220000$ il $57,143%$ ($120/(120+90)$) sarà relativo agli ZCB e la restante parte (il complemento ad uno della prima quota o se preferisci il numero di titoli a cedola fissa sul numero totale di titoli) a quelli con coupon fisso.
Ti ho suggerito di procedere in quella maniera perché per determinare il T.I.R. (o yield to maturity) di una generica sequenza di flussi è necessario banalmente trovare quel tasso tale per cui la somma dei f.f. in entrata eguagli quella dei f.f. in uscita. Se il prezzo oggi è pari ad $S$ significa che tu pagando questa cifra acquisti il diritto a ricevere:

$VN_(ZCB)*N_(ZCB)$ tra un anno

e

$C_(FIX)*N_(FIX)$ ogni $6$ mesi oltre che il rimborso del nozionale ($VN_(FIX)$) a scadenza

dove $C_(FIX)=0,025*VN_(FIX)=0,025*1000=25$ è la cedola che riceverai ogni $6$ mesi (è $0,025$ perché il tasso nominale è - essendo annuo - riferito ad un periodo di 12 mesi; visto che le cedole sono semestrali basterà dividere per $2$) per ciascun titolo a tasso fisso, tu ne hai 90 ($N_(FIX)$).
A questo punto è immediato determinare che il portafoglio $A$ (lo chiamo così per comodità) costituito comprando $N_(ZCB)$ e $N_(FIX)$, consentirà di godere dei seguenti flussi:

$ul(\A)=[ 0 \ 2250 \ 122250 \ 2250 \ ...\ 2250 \ 92250] $

(il primo flusso è $0$ perché di fatto non ricevi nulla, se mai paghi per ottenere i successivi. Vedi sotto)
relativi alle scadenze:

$ul(\t)=[0 \ 1 \ 2 \ 3 \ ... \ 19 \ 20]$

Nota che sono $20$ scadenze e non $10$ (errore grave). Per comodità (visto che le cedole sono semestrali) ho diviso il periodo in semestri.
(evidentemente al posto dei puntini ci sono altri $15$ flussi semestrali ciascuno di $2250$.
Ora che abbiamo i flussi basta impostare la relazione:

$V(0, ul(\A))=(2250)*(1+YTM)^(-1)+(122250)*(1+YTM)^(-2)+...+92250*(1+YTM)^(-20)=220000 \stackrel{!}{=} 0 $

(per chiarezza: $V(0, ul(\A))-=S$ semplicemente il valore oggi del portafoglio, dato dalla traccia)
allora

$ -220000+(2250)*(1+YTM)^(-1)+(122250)*(1+YTM)^(-2)+...+92250*(1+YTM)^(-20)\stackrel{!}{=} 0$

Dove $YTM$ è il T.I.R semestrale¹ del portafoglio (a spanne tra l'$1%$ e il $2%$) che puoi calcolare con uno dei metodi da te citati.
Se volessi fare le cose ancora più snelle utilizza la capitalizzazione continua.
Spero di averti aiutato. Se avessi bisogno di altri chiarimenti chiedi pure senza problemi

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Note

1. se volessi quello annuale moltiplica tutte le scadenze per $(1)/(2)$ ↑

[Janedoe07]

Grazie mille, sei stato chiarissimo.
Non avevo pensato di leggere l'esercizio in flussi, l'ho rifatto e ho trovato un tasso di interesse che purtroppo non ho modo di controllare, ma ad occhio mi sembra plausibile.
Ancora grazie mille.