[EX] Processo seguito dal prezzo di un derivato

Anche se so già che nessuno risponderà propongo lo stesso il seguente esercizio (provo un po’ ad alzare il livello di questa stanza visto che la domanda “media” chiede di prezzare un’obbligazione zero-coupon).
Si consideri uno strumento derivato il cui valore all’epoca $T$ è $S_(T)^(n)$ ($S_T$ è il valore del sottostante alla scadenza $T$).
Ipotizzando che il sottostante segua un moto browniano geometrico($dS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t} dW_{t}$ con $dW_t$ processo di Wiener standard, $mu$ drift e $sigma$ variance rate), è dimostrabile che il prezzo al tempo $t$ ($t<=T$) ha la forma:

$h(t,T)*S_(t)^(n)$

(Evidentemente $S_t$ è il valore del sottostante in $t$ ed $h$ è funzione di $t$ e $T$).
Facendo uso dell’equazione (differenziale alle derivate parziali) di Black-Scholes-Merton, si ricavi l’equazione differenziale ordinaria soddisfatta da $h(t, T)$.
Qual è la condizione al contorno per $h(t, T)$?
Si mostri inoltre che:

$h(t, T)=e^(((1)/(2)sigma^2n(n-1)+r(n-1))(T-t))$

Dove $r$ è il tasso continuo annuo risk-free e $sigma$ è la volatilità del sottostante.
Nel fine settimana posterò la soluzione.

Il prezzo di non arbitraggio¹ è tale se la seguente risulta essere soddisfatta:

$\frac{\partial^{}f(S,t)}{\partial t}+rS\frac{\partial^{}f(S,t)}{\partial S}+ (1)/(2)\sigma^2S^2\frac{\partial^(\ 2)f(S,t)}{\partial S^2}=rf(S,t)$

Dove i valori delle derivate parziali sono le c.d. greche² (che per molti piovono dal cielo) ovvero il delta (derivata rispetto al sottostante, esprime la variazione del prezzo del derivato davanti ad oscillazioni nel prezzo del sottostante), il gamma (derivata seconda rispetto al sottostante, spiega in poche parole come si comporta il delta davanti a variazioni del sottostante e si usa in hedging quando ci si aspettano ampi movimenti di $S$) ed il theta (derivata rispetto al tempo, indica come si comporta il prezzo dello strumento derivato al variare del tempo).
Evidentemente

$ h(t,T)S_(t)^(n)= f(S,t)$

cioè il valore del derivato avente come sottostante $S$ all'epoca $t$.
Per semplicità si identifichi con $h_t$ la derivata di $h(t,T)$ rispetto a $t$. Le derivate parziali sono:

• $\frac{\partial^{}f(S,t)}{\partial t}=h_(t)S^n$
  
  
• $\frac{\partial^{}f(S,t)}{\partial S}=h_()nS^(n-1)$
  
  
• $\frac{\partial^(\ 2)f(S,t)}{\partial S^2}=h_()n(n-1)S^(n-2)$

sostituendo nella BSM si ottiene:

$h_t+rhn+(1)/(2)\sigma^2S^2h_()n(n-1)=rh$

La seguente rispetta la condizione al contorno ( $h(T,T)=1$ )

$ h(t, T)=\e^([(1)/(2)\sigma^2n(n-1)+r(n-1)](T-t)) $

In alternativa risolvendo l'equazione differenziale ordinaria $h_t=rh-rhn-(1)/(2)\sigma^2S^2h_()n(n-1)$:

$(h_t)/h=-r(n-1)-(1)/(2)\sigma^2n(n-1)$

Cioè

$\harr int_(t)^(T) (h_s)/h ds=int_(t)^(T)-r(n-1)-(1)/(2)\sigma^2n(n-1)ds$

$lnh(T,T)-lnh(t,T)=[-r(n-1)+(1)/(2)\sigma^2n(n-1)](T-t)$

Vale a dire che

$lnh(t,T)=[r(n-1)+(1)/(2)\sigma^2n(n-1)](T-t)$

allora

$h(t,T)=e^([r(n-1)+(1)/(2)\sigma^2n(n-1)](T-t))$

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Note

1. ed il derivato è negoziabile ↑
2. non tutte ovviamente ↑