[EX] Processo seguito dal prezzo di un derivato
Inviato: 29/01/2019, 23:41
Anche se so già che nessuno risponderà propongo lo stesso il seguente esercizio (provo un po’ ad alzare il livello di questa stanza visto che la domanda “media” chiede di prezzare un’obbligazione zero-coupon).
Si consideri uno strumento derivato il cui valore all’epoca $T$ è $S_(T)^(n)$ ($S_T$ è il valore del sottostante alla scadenza $T$).
Ipotizzando che il sottostante segua un moto browniano geometrico($dS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t} dW_{t}$ con $dW_t$ processo di Wiener standard, $mu$ drift e $sigma$ variance rate), è dimostrabile che il prezzo al tempo $t$ ($t<=T$) ha la forma:
(Evidentemente $S_t$ è il valore del sottostante in $t$ ed $h$ è funzione di $t$ e $T$).
Facendo uso dell’equazione (differenziale alle derivate parziali) di Black-Scholes-Merton, si ricavi l’equazione differenziale ordinaria soddisfatta da $h(t, T)$.
Qual è la condizione al contorno per $h(t, T)$?
Si mostri inoltre che:
Dove $r$ è il tasso continuo annuo risk-free e $sigma$ è la volatilità del sottostante.
Nel fine settimana posterò la soluzione.
Si consideri uno strumento derivato il cui valore all’epoca $T$ è $S_(T)^(n)$ ($S_T$ è il valore del sottostante alla scadenza $T$).
Ipotizzando che il sottostante segua un moto browniano geometrico($dS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t} dW_{t}$ con $dW_t$ processo di Wiener standard, $mu$ drift e $sigma$ variance rate), è dimostrabile che il prezzo al tempo $t$ ($t<=T$) ha la forma:
$h(t,T)*S_(t)^(n)$
(Evidentemente $S_t$ è il valore del sottostante in $t$ ed $h$ è funzione di $t$ e $T$).
Facendo uso dell’equazione (differenziale alle derivate parziali) di Black-Scholes-Merton, si ricavi l’equazione differenziale ordinaria soddisfatta da $h(t, T)$.
Qual è la condizione al contorno per $h(t, T)$?
Si mostri inoltre che:
$h(t, T)=e^(((1)/(2)sigma^2n(n-1)+r(n-1))(T-t))$
Dove $r$ è il tasso continuo annuo risk-free e $sigma$ è la volatilità del sottostante.
Nel fine settimana posterò la soluzione.