Esercizio teoria regressione multipla

[enrymila]

Ciao a tutti,

sto preparando un esame di econometria e purtroppo non riesco a trovare una possibile soluzione a questo esercizio.



Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano? Non so proprio dove girarmi
Vi ringrazio in anticipo

[Gughigt]

Non riesci a trovare una soluzione oppure non hai studiato il test F? Sono tutte domande a cui potresti rispondere in un minuto conoscendo anche solo per sentito dire il test.
Se mi mostri come hai provato a rispondere ti aiuto, se non riesci proprio a trovare una risposta significa evidentemente che non hai guardato neanche per sbaglio le pagine del tuo manuale dove si parla di vincoli lineari sui regressori e verifica di ipotesi e ti consiglio di andartele a rivedere bene.

[enrymila]

Non riesci a trovare una soluzione oppure non hai studiato il test F? Sono tutte domande a cui potresti rispondere in un minuto conoscendo anche solo per sentito dire il test.
Se mi mostri come hai provato a rispondere ti aiuto, se non riesci proprio a trovare una risposta significa evidentemente che non hai guardato neanche per sbaglio le pagine del tuo manuale dove si parla di vincoli lineari sui regressori e verifica di ipotesi e ti consiglio di andartele a rivedere bene.

Ho risolto, grazie lo stesso.
Riguardo alla statistica F so bene il suo utilizzo nella verifica di ipotesi congiunte e il modo in cui si distribuisce.
Semplicemente il mio libro accenna in maniera molto rapida al suo utilizzo nel caso di ipotesi multiple e alla sua rappresentazione in forma matriciale.

[Gughigt]

Sono contento che tu sappia utilizzarlo.
Ad ogni modo ti ho ripreso solo perché il regolamento (che sicuramente avrai letto) impone di postare, insieme all'esercizio per cui si chiede aiuto, un abbozzo di soluzione.
Visto che mi fido del fatto che tu abbia davvero studiato ti posto solo l'incipit della soluzione così potrai controllare ed almeno avrai un buon ricordo del forum.
E' banale capire che se \(\displaystyle \widehat\beta \) è il vettore degli stimatori sarà di ordine \(\displaystyle (K, 1) \) dove \(\displaystyle K \) è il numero delle variabili indipendenti (di cui una pari ad uno) intercetta inclusa, ed \(\displaystyle R \) è la matrice dei coefficienti della funzione vincolo, questa sarà di ordine \(\displaystyle (H, K) \) con \(\displaystyle H \) numero dei vincoli (magari lo indichi con un'altra lettera abitualmente, non lo so) e $K$ già specificata. Quindi al primo punto della domanda a) si può rispondere che \(\displaystyle (R\widehat\beta-r) \) è un vettore di ordine \(\displaystyle (H, 1) \). Ragionando simmetricamente rispondi al secondo punto della domanda.
Il quesito b) riguarda la "costruzione" della statistica F: visto che conosciamo la distribuzione¹ di \(\displaystyle \widehat\beta \) (\(\displaystyle \widehat\beta \sim \mathcal{N} (\beta, \sigma^2(X'X)^{-1}) \) (il tuo esercizio indica la matrice var/covar di con sigma maiuscolo mi pare, sappi che è \(\displaystyle (X'X)^{-1} \)), allora la variabile \(\displaystyle W=R\widehat\beta \) si distribuirà nel modo seguente \(\displaystyle W \sim \mathcal{N} (R\beta, \sigma^{2}R(X'X)^{-1}R') \). La risposta è banalmente che il termine indicato rappresenta la matrice varianze/covarianze della nuova variabile vincolo \(\displaystyle R\widehat\beta \).
Per il resto ti lascio procedere da sola/o, tanto sono specifiche del test. Se avessi problemi o se sono stato poco chiaro dimmelo.

---

Note

1. magari perché sappiamo che gli errori sono normalmente distribuiti ↑

[enrymila]

Sono contento che tu sappia utilizzarlo.
Ad ogni modo ti ho ripreso solo perché il regolamento (che sicuramente avrai letto) impone di postare, insieme all'esercizio per cui si chiede aiuto, un abbozzo di soluzione.
Visto che mi fido del fatto che tu abbia davvero studiato ti posto solo l'incipit della soluzione così potrai controllare ed almeno avrai un buon ricordo del forum.
E' banale capire che se \( \displaystyle \widehat\beta \) è il vettore dei regressori sarà di ordine \( \displaystyle (K, 1) \) dove \( \displaystyle K \) è il numero delle variabili indipendenti (di cui una pari ad uno) intercetta inclusa, ed \( \displaystyle R \) è la matrice dei coefficienti della funzione vincolo, questa sarà di ordine \( \displaystyle (H, K) \) con \( \displaystyle H \) numero dei vincoli (magari lo indichi con un'altra lettera abitualmente, non lo so) e $ K $ già specificata. Quindi al primo punto della domanda a) si può rispondere che \( \displaystyle (R\widehat\beta-r) \) è un vettore di ordine \( \displaystyle (H, 1) \). Ragionando simmetricamente rispondi al secondo punto della domanda.
Il quesito b) riguarda la "costruzione" della statistica F: visto che conosciamo la distribuzione¹ di \( \displaystyle \widehat\beta \) (\( \displaystyle \widehat\beta \sim \mathcal{N} (\beta, \sigma^2(X'X)^{-1}) \) (il tuo esercizio indica la matrice var/covar di con sigma maiuscolo mi pare, sappi che è \( \displaystyle (X'X)^{-1} \)), allora la variabile \( \displaystyle W=R\widehat\beta \) si distribuirà nel modo seguente \( \displaystyle W \sim \mathcal{N} (R\beta, \sigma^{2}R(X'X)^{-1}R') \). La risposta è banalmente che il termine indicato rappresenta la matrice varianze/covarianze della nuova variabile vincolo \( \displaystyle R\widehat\beta \).
Per il resto ti lascio procedere da sola/o, tanto sono specifiche del test. Se avessi problemi o se sono stato poco chiaro dimmelo.

Ti ringrazio!
Scusa se non ho allegato subito la soluzione.
Questo è il mio tentativo di soluzione decisamente più mediocre rispetto alla soluzione da te abbozzata.
Si tratta di una parte solamente accennata a lezione quindi spero che il professore non abbia troppe pretese.

---

Note

1. magari perché sappiamo che gli errori sono normalmente distribuiti ↑

[Gughigt]

La matrice \(\displaystyle R \) è di ordine \(\displaystyle (H, K) \), usando la tua notazione \(\displaystyle(q, K+1) \) e non il contrario come mi pare di aver letto sul tuo quaderno. A rigor di logica, se così non fosse, non sarebbe possibile la pre-moltiplicazione per il vettore degli stimatori di ordine (usando la tua notazione) \(\displaystyle (K+1,1) \). Correggi il risultato della prima domanda, \(\displaystyle (R\hat{\beta}−r) \) è di ordine \(\displaystyle (q,1) \) e non il contrario.
Al punto 2 la matrice delle varianze e covarianze di \(\displaystyle \hat{\beta} \) è di ordine \(\displaystyle (q, q) \), rifai i conti se non ti trovi.
Inoltre la statistica F segue una distribuzione F di Fisher Snedecor centrale (perché è il rapporto di due chi quadrato: numeratore segue una \(\displaystyle \mathcal{X}_{q}^{2} \) con \(\displaystyle q=r(R) \) ed il denominatore una \(\displaystyle \mathcal{X}_{N-K+1}^{2} \)). Sotto ipotesi nulla si ha che \(\displaystyle R=I_{K+1} \).
Cioè:

\(\displaystyle F\sim F_{K+1, N-K+1} \)

Fai attenzione all'intercetta. Nella maggior parte dei casi è insensato avere intercetta nulla (pensa ad una regressione sul prezzo di un asset) quindi, usi un vettore delle pendenze "depurato" dall'intercetta di ordine \(\displaystyle (K,1) \) (sempre secondo la tua notazione) e la matrice identità (sotto \(\displaystyle H_{0} \)) sarà di ordine \(\displaystyle K \) e non più \(\displaystyle K+1 \).
Tutto chiaro?

[enrymila]

La matrice \(\displaystyle R \) è di ordine \(\displaystyle (H, K) \), usando la tua notazione \(\displaystyle(q, K+1) \) e non il contrario come mi pare di aver letto sul tuo quaderno. A rigor di logica, se così non fosse, non sarebbe possibile la pre-moltiplicazione per il vettore degli stimatori di ordine (usando la tua notazione) \(\displaystyle (K+1,1) \). Correggi il risultato della prima domanda, \(\displaystyle (R\hat{\beta}−r) \) è di ordine \(\displaystyle (q,1) \) e non il contrario.
Al punto 2 la matrice delle varianze e covarianze di \(\displaystyle \hat{\beta} \) è di ordine \(\displaystyle (q, q) \), rifai i conti se non ti trovi.
Inoltre la statistica F segue una distribuzione F di Fisher Snedecor centrale (perché è il rapporto di due chi quadrato: numeratore segue una \(\displaystyle \mathcal{X}_{q}^{2} \) con \(\displaystyle q=r(R) \) ed il denominatore una \(\displaystyle \mathcal{X}_{N-K+1}^{2} \)). Sotto ipotesi nulla si ha che \(\displaystyle R=I_{K+1} \).
Cioè:

\(\displaystyle F\sim F_{K+1, N-K+1} \)

Fai attenzione all'intercetta. Nella maggior parte dei casi è insensato avere intercetta nulla (pensa ad una regressione sul prezzo di un asset) quindi, usi un vettore delle pendenze "depurato" dall'intercetta di ordine \(\displaystyle (K,1) \) (sempre secondo la tua notazione) e la matrice identità (sotto \(\displaystyle H_{0} \)) sarà di ordine \(\displaystyle K \) e non più \(\displaystyle K+1 \).
Tutto chiaro?

Scusa se ti rispondo solamente ora.
La tua risposta è stata molto chiara.
Grazie mille!