Problema montante di una rendita matematica finanziaria

Buonasera,

scrivo qua per chiedere chiarimento in merito ad un metodo di risoluzione di un problema di matematica finanziaria.
Riporto il testo: "Una banca ci propone un piano di accumulo capitale al tasso composto i=4%, quanto è il capitale accumulato tra 10 anni con un pagamento di 10 rate annuali di importo ogni anno maggiorato del 20% rispetto all'anno precedente, con la prima rata pari a 520 euro?"

Subito ho pensato di risolvere il problema usando la formula delle rendite con rate in progressione geometrica, quindi

$M = R((1-(q/(1+i))^N)/(1+i-q))(1+i)^T = 520((1-((1,2)/(1+0,04))^10)/(1+0,04-1,2))(1+0,04)^10 = 15312,35 $

Il mio problema arriva quando il libro tira fuori una formula totalmente nuova che fatico a comprendere pienamente e che porta ad un risultato leggermente diverso, la riporto:

Posto $w=(1+0,2)/(1+0,04)=1,154$

$M = 520(1+\sum_{n=1}^9 w^n)(1+i)^9 =520(1+w(1-w^9)/(1-w))(1+i)^9 = 15323,87 $

Da quello che ho capito il libro sfrutta la proprietà delle serie, inoltre per la risoluzione viene fatta una capitalizzazione in meno(infatti N=9 e non 10) in quanto ci si è posizionati al tempo t=1.
Il mio problema deriva dal fatto che non capisco la logica della seconda formula oltre ad il fatto che i risultati sono leggermente diversi.

Ringrazio già in anticipo chiunque riuscirà a chiarirmi le idee

Ringrazio già in anticipo chiunque riuscirà a chiarirmi le idee

Dai su....

Premesso che $w=(1.2)/(1.04)=1.15384615384615$ e non $1.154$ vedi che i risultati sono identici; la differenza sta nel fatto che "lui" ha arrotondato questo $w$

Quindi i due procedimenti sono equivalenti MA,

il modo con cui lo hai risolto tu non mi piace affatto...è un metodo da "ragioneria" non da studente universitario....(non so che studi tu faccia, ma secondo me è il caso di lasciar perdere un po' tutte le formulette e ragionare...)

Quindi, invece che "spiegarti" come ha fatto lui, ti propongo come lo risolverei io....

iniziamo a lasciare perdere il 520€ iniziale (che tanto è una costante del problema) e supponiamo che la rata iniziale sia di 1€.

Disegni l'asse dei tempi, posizioni il tuo euro, rivalutato di $1.2^x$ ogni periodo...quindi $1.2^0;1.2^1;...;1.2^9$

e vedi che il tuo montante è proprio la seguente serie:

$sum_(x=0)^(9)1.2^x*1.04^(9-x)=1.04^9sum_(x=0)^(9)((1.2)/(1.04))^x=1.04^9(1-((1.2)/(1.04))^10)/(1-(1.2)/(1.04))=1.04^10(1-((1.2)/(1.04))^10)/(1.04-1.2)$

che è esattamente ciò che hai scritto tu ma è un procedimento ragionato.

Ci vuole davvero poco a manipolare la soluzione del libro e dimostrare che coincide con la tua:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$(1+w(1-w^9)/(1-w))1.04^9=(1+(w-w^10)/(1-w))1.04^9=(1-w^10)/(1-w)1.04^9=(1-w^10)/(1-(1.2)/(1.04))1.04^9=(1-w^10)/(1.04-1.2)1.04^10$

L'unica cosa che ti rimane da dimostrare è appunto la somma della seguente progressione geometrica

$S=1+q+q^2+q^3+...+q^(n-1)$

moltiplico ambo i membri per $q$

$Sq=q+q^2+q^3+...+q^(n-1)+q^n$

sottraggo membro a membro ottenendo

$S(1-q)=1-q^n$

e quindi subito si ha

$S=(1-q^n)/(1-q)=" nel tuo caso "=(1-((1.2)/(1.04))^10)/(1-(1.2)/(1.04))$

fine del problema.

Ti ringrazio molto per la tua risposta veramente chiara,
avevo già provato ad arrivare al risultato facendo ragionamenti simili e tutto filava, mi ha tratto in inganno il fatto che il libro usasse quella formula contorta e volevo capire il suo significato, mi pare comunque una stranezza che il libro approssimi così tanto...
Comunque sia ancora molte grazie!