Dimostrazione GE model a partire da paper

Messaggioda vdelfina » 29/05/2019, 19:07

Buonasera a tutti,

Sono nuova in questo forum, ma leggo da parecchio e molti dei vostri consigli mi hanno aiutato in diverse occasioni. Oggi mi trovo di fronte a un dilemma che non riesco a risolvere e spero di trovare un piccolo aiuto.

Per la mia tesi mi trovo a dover ridimostrare un modello di equilibrio generale a partire da un paper ma non riesco a trovare l'impostazione di un'equazione.
Per chi volesse dare un'occhiata, il paper è il seguente: https://www.uts.edu.au/sites/default/files/Acharya.pdf

L'obiettivo del modello è di trovare le posizioni, il payoff e il prezzo di equilibrio di un attivo finanziario in situazione di opacità. In particolare, ci sono 3 agenti nell'economia, due vogliono comprare l'attivo e uno vuole venderlo. L'agente 3, in posizione corta, ha degli incentivi a fare default che sono governati dal parametro $\epsilon$.

Gli autori definiscono le utilità di tutti i partecipanti e in seguito cercano le posizioni di equilibrio ($ z^1, z^2, z^3 $) il payoff realizzato ($ R^{+} $ ) e il prezzo dell'attivo ($q$) tale che:
1) ogni agente massimizza la propria funzione di utilità
2) il mercato dell'attivo è in equilibrio $ z^3 = z^1 + z^2 $
3) il payoff in caso di bancarotta è dato da:

\[
R^{+} =
\begin{cases}
\frac{\omega^{3}(B)}{z^{1}+z^{2}} & \textit{if $1_{D}=1$}\\
R & \textit{if else}
\end{cases}
\]

dove $1_{D}$ è l'indicatrice che prende il valore 1 se c'è default.
Attraverso la massimizzazione libera dell'utilità dei 3 agenti si trovano le posizioni ottimali:

\[
z^{1}(R^{+},q) = \frac{1}{R^{+}}\biggl[ \omega^{1}(G) - \frac{q - (1-p)R^{+}}{\gamma p(1-p)R^{+}}\biggl]
\]

\[
z^{2}(R^{+},q) = \frac{1}{R^{+}}\biggl[ \omega^{2}(G) - \frac{q - (1-p)R^{+}}{\gamma p(1-p)R^{+}}\biggl]
\]

e

\[
z^{3} = \frac{q - (1-p) \epsilon}{p(1-p) \gamma \epsilon^{2}}
\]

e fin qui tutto a posto. Il mio problema sorge all'equazione n° 6 di pagina 10.
Gli autori introducono il paragrafo dicendo: Substituting for (z1, z2, z3) in the market-clearing and bankruptcy conditions of the equilibrium yields two equations in the realized insurance payoff R+ and insurance price q which can be solved to characterize the equilibrium:

\[
R^{+}(q) = \frac{\omega^{3}(B) p(1-p) \gamma \epsilon^{2}}{q - (1-p) \epsilon}
\]

che deriva dalla condizioni di bancarotta di R. In equilibrio $\frac{\omega^{3}(B)}{z^{1}+z^{2}} = \frac{\omega^{3}(B)}{z^{3}}$ quindi si ritrova l'identità di cui sopra. E infine l'equazione (6):

\[
\omega^{3}(B) = \omega^{1}(G) + \omega^{2}(G) + \frac{2}{\gamma p} - \frac{2q}{\gamma p (1-p) R^{+}}
\]

Quest'ultima identità non riesco proprio a capire da dove l'hanno tirata fuori. Ho provato mille soluzioni, ho risolto $ z^3 = z^1 + z^2 $ per $q$ e poi ho sostituito in R, ho provato la stessa cosa ma in R sostituendo per q, ho provato in un sistema con la condizione di equilibrio e l'equazione (5) di $R^+$ ma non riesco proprio a capire in che modo hanno trovato $\omega^{3}(B)$. Di sicuro la condizione $ z^1 + z^2 $ c'entra, data la forma della soluzione, ma proprio non riesco a trovare la sua controparte. In particolare, mi risultano sempre delle pagine di equazioni che includono sempre il parametro $\epsilon$ ma evidentemente gli autori partono proprio da una condizione diversa da quella da cui parto io, vista la "semplicità" della loro soluzione, che non include $\epsilon$.

Spero che qualcuno possa aiutarmi, nel caso non si capisse nulla dalla mia spiegazione, provvederò a rispiegare il tutto. Grazie mille in anticipo per il vostro aiuto!
vdelfina
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