Certo che ti sei sforzato molto.
Mi rifiuto di usare la tua notazione, se hai capito l'argomento non avrai problemi, altrimenti rivedilo bene. Ad ogni modo:
Sia $V(t, x)$ il prezzo all'istante $t$ (non ti definisco vettori dei flussi e del tempo che sicuramente conoscerai).
$V(t, x)=sum_(h =1) ^(n)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$
La sua derivata prima è:
$V'(t, x)= -sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$
Cerchiamo ora le variazioni relative (divido per il prezzo):
$(V'(t, x))/(V(t, x))= (-sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t)))/(V(t, x))=-(1)/(1+i)*D(t, x)$
Dove $D(t, x)$ è la Flat Yield Duration (quella di Macaulay è banalmente la stessa cosa ma con la struttura per scadenza esplicita, anziché $i$ dovresti scrivere $i(t, t_(h)$ ), inoltre tutto il membro di destra prende il nome di "Modified Duration".
Se approssimassimo la derivata prima con il rapporto incrementale otterremmo:
$(Delta V(t, x))/(V(t, x) Delta i)~= -(1)/(1+i)*D(t, x)$
e quello che cerchi tu cioè:
$(Delta V(t, x))/( Delta i)~=-(1)/(1+i)*D(t, x)*V(t, x)$
Ciao e saluti a landa...
P.s. ho utilizzato la capitalizzazione discreta, nel continuo il risultato è simile