Duration di Macaulay

Salve, presento il seguente quesito: "Dopo aver definito la Duration di Macaulay $D$ e la Duration Modificata $D_m$ per un coupon bond con scadenza $n$, valore facciale $F$, tasso cedolare $c$ e prezzo $P$, dimostrare relazione $(text(d)P)/(text(d) text(landa)) = - D_m * P$, dove $text(landa)$ è il rendimento a maturità.

Prima di tutto ho scritto la duration di macaulay $D= (F*(n/m)*dn+C/m sum_k k*dk)/P$
Con $dk=(1+ text(landa)/m)^(-k)$

Dovrei derivare ora il $P$ del coupon bond per $text(landa)$ ma sto trovando difficoltà nel farlo.
Qualche aito, please?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Landa?
Hans Landa?

Certo che ti sei sforzato molto.
Mi rifiuto di usare la tua notazione, se hai capito l'argomento non avrai problemi, altrimenti rivedilo bene. Ad ogni modo:
Sia $V(t, x)$ il prezzo all'istante $t$ (non ti definisco vettori dei flussi e del tempo che sicuramente conoscerai).

$V(t, x)=sum_(h =1) ^(n)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$

La sua derivata prima è:

$V'(t, x)= -sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t))$

Cerchiamo ora le variazioni relative (divido per il prezzo):

$(V'(t, x))/(V(t, x))= (-sum_(h =1) ^(n)(t_(h)-t)x_(h)(1+i)^(-(t_(h)-t)))/(V(t, x))=-(1)/(1+i)*D(t, x)$

Dove $D(t, x)$ è la Flat Yield Duration (quella di Macaulay è banalmente la stessa cosa ma con la struttura per scadenza esplicita, anziché $i$ dovresti scrivere $i(t, t_(h)$ ), inoltre tutto il membro di destra prende il nome di "Modified Duration".
Se approssimassimo la derivata prima con il rapporto incrementale otterremmo:

$(Delta V(t, x))/(V(t, x) Delta i)~= -(1)/(1+i)*D(t, x)$

e quello che cerchi tu cioè:

$(Delta V(t, x))/( Delta i)~=-(1)/(1+i)*D(t, x)*V(t, x)$

Ciao e saluti a landa...
P.s. ho utilizzato la capitalizzazione discreta, nel continuo il risultato è simile