CALCOLO RENDIMENTO

[ross20]

Buongiorno a tutti volevo chiedere aiuto per il seguente esercizio
In un mercato obbligazionario perfetto è in vigore la seguente struttura dei tassi a-pronti
\(\displaystyle i(t; s) =s-t /1 + 10(s-t)\)
Determinare al tempo t = 0 il rendimento annuo di un titolo obbligazionario con le seguenti caratteristiche:
 valore nominale pari a 400,
 cedole semestrali, vita a scadenza di due anni,
 alla k-esima cedola (k = 1; 2; 3; 4) si applica un tasso cedolare annuo pari a 0; 1 + 0; 03k.
inizialmente ho calcolato il tasso cedolare che mi è venuto: TC1=0,13 ; TC2=0,16; TC3=0,19;TC4=0,22
Ho calcolato le cedole: C1=52; C2=64; C3= 76; C4=88
a questo punto mi sorgono i primi dubbi...penso di dover continuare calcolando i prezzi a pronti e una volta fatto questo calcolarmi il rendimento ma è proprio il calcolo di questo che mi manda in confusione
Grazie in anticipo per l'aiuto

[Gughigt]

Se ti dicessi Yield to Maturity?

[ross20]

So che la YTM è il tasso implicito di rendimento e dal punto di vista teorico mi è abbastanza chiaro.
Riscontro problemi a capire come poterlo ottenere dai dati forniti dalla traccia
Forse sarà banale come procedimento e mi scuso in anticipo ma sono agli inizi

[Gughigt]

Scusarti per cosa? Mostri che ti impegni e che provi a svolgere gli esercizi. Questo basta a convincermi ad aiutarti.
Dunque, nel caso generalizzato, per Yield to Maturity (o Tasso Interno di Rendimento) si intende quel tasso tale per cui la funzione DCF è nulla.
Sia $G(*)$ tale funzione, posto $t$ l'istante attuale e $x_h$ i flussi relativi alle varie scadenze ($h=1, 2, 3, ... ,n$), allora:

$ G(y)=sum_(h = 1)^n x_h*e^(-y*(t_h-t))=0 $

Vale a dire che il tasso interno di rendimento è quel valore tale da renderti il valore attuale delle entrate uguale al valore attuale delle uscite.

Con i dati che hai dovrebbe essere ora semplice trovare lo $YTM$ annuo dell'obbligazione.


La formula di sopra è nel continuo, nel caso discreto basta sostituire il fattore di sconto continuo con:

$ (1+y)^(-(t_h-t))$

[ross20]

quindi se non ho capito male dovrei fare:
\(\displaystyle 52/(1+0,083)⁻¹/² + 64/(1+0,090)⁻¹ + 76/(1+0,094)⁻³/² + 88/(1+0,095)⁻²+ 400/(1+0,095)⁻² \)
?

[Gughigt]

No. ci sono molti errori in quello che hai scritto.
1)Il fattore di sconto è sbagliato: dato un tasso, $i(t, th)$ il fattore di sconto è $(1+i(t, t_(h)))^(-(t_(h)-t))$, se sei in $h=0$ come nel tuo caso e vuoi valutare un flusso in $h=1$ dovrai fare $(1+i(0,1))^(-(1))$. Usando la tua struttura per scadenza (di cui non ho controllato la correttezza numerica, ma che mi sembra coerente) $(1+0,083)^(-(1))$. Quello che hai scritto tu è una sciocchezza (passami il termine).
2)Il tasso è la tua incognita!!!
3)Ora che rileggo bene la traccia mi sembra sia incompleta e scritta male; puoi riportarla per intero così da poterci capire qualcosa? (usa le formule cortesemente)
In questo post spiegavo operativamente come si fa a calcolare lo YTM ad un altro utente, spero possa servirti per schiarirti le idee.

Se vuoi proprio imparare a calcolare un Tasso Interno di Rendimento ti mostro un banale esempio evidentemente riconducibile ad una situazione generale.
Considera questa successione di flussi:

$ ul(x)=[-100 \ 50 \ 60 \ ] $

relativi alle scadenze

$ ul(t)=[0 \ 1 \ 2 ] $

Per determinare il TIR dobbiamo impostare una relazione di uguaglianza tra i flussi negativi (in questo caso solo il primo, $-100$) e quelli positivi. In altre parole è necessario ricercare il tasso tale per cui la somma cumulata dei flussi positivi attualizzati¹ risulta essere uguale a quella dei flussi negativi attualizzati (in questo esempio non necessario perché l'unico importo negativo è riferito all'istante $0$). Formalmente:

$(50)/(1+YTM)+(60)/(1+YTM)^2=100$

Ponendo per semplicità $y-=(1+YTM)^-1$, allora

$50y+60y^2-100=0$

$ harr y_(1)=(1)/(12)*(sqrt(265)-5) ^^ y_(2)=(1)/(12)*(-sqrt(265)-5)$

A questo punto

$(1)/(12)*(sqrt(265)-5)=(1)/(1+YTM)$

Da cui:

$YTM=0,063941$

---

Note

1. Ipotizzando che l'istante di valutazione coincida con il tempo $0$. ↑

[ross20]

Ho controllato la traccia ed è scritta correttamente ma la riporto con le formule, magari è più chiara:
In un mercato obbligazionario perfetto è in vigore la seguente struttura dei tassi a-pronti
i(t; s) = $(s-t)/(1+10(s-t))$
Determinare al tempo t = 0 il rendimento annuo di un titolo obbligazionario con le seguenti caratteristiche:
 valore nominale pari a 400,
 cedole semestrali, vita a scadenza di due anni,
 alla k-esima cedola (k = 1; 2; 3; 4) si applica un tasso cedolare annuo pari a $0,1 + 0,03k$.