Re: Calcolo del prezzo al tempo t
Inviato: 16/02/2020, 22:37La duration è principalmente un indicatore di variabilità dei flussi: è in grado di esprimere come si muoverà il prezzo dell'attività davanti a variazioni dei tassi di interesse.
È possibile approssimare il movimento del prezzo del titolo davanti ad oscillazioni nei valori dei tassi di interesse.
Con la duration si può fornire un'approssimazione lineare della funzione prezzo e quindi sapere in anticipo a che di quanto varierà il prezzo se i tassi varieranno dell'$x%$.
Perdonami ma almeno un minimo di formalismo devo usarlo.
Passa direttamente all'ultima equazione se vuoi, per il tuo scopo non è fondamentale conoscere i passaggi che sto per scrivere. Consideriamo un titolo, il cui valore è $V(t,x)$.
Si può esprimere il valore del titolo esplicitando la dipendenza dal tasso.
Indicando con $i_{0}$ il tasso corrente, il polinomio di Taylor che lo approssima (al primo ordine) è:
Dove $V’(\cdot)$ rappresenta la derivata prima.
Si noti che non è un'approssimazione (visto il resto di Peano). Passando alle variazioni relative:
Ovvero, semplificando la notazione:
@gianca la relazione che ti interessa è questa:
Intendila come: Prezzo nuovo - Prezzo vecchio = [$-(1)/(1+i)*D(t, x)V(t, x) Delta i$]
Che mostra una relazione decrescente tra la variazione dei tassi di interesse ($Delta i$) e la variazione di prezzo.
Quindi, se il titolo vale $100$ ($V(t, x)=100$), ora il tasso di riferimento è al $3%$, il titolo ha una duration $D(t,x)=4.5$ e si vuole sapere cosa accadrà se sale al $5%$, allora:
Quella di sopra è facilmente riconducibile ad un polinomio di Taylor di primo grado, in grado di approssimare il valore del titolo.
Dove l'approssimazione consiste nel trascurare l'errore di primo grado.
È immediato osservare che tale approssimazione (essendo un polinomio di primo grado) rappresenta una retta.
Trattandosi di un'approssimazione di primo grado ed essendo la funzione che descrive il prezzo rispetto al tasso convessa, per avere una stima più precisa della variazione si può estendere l'approssimazione al secondo grado facendo così ricorso alla convessità del titolo.
Spero di esser stato chiaro. Se vuoi estendo alla convessità, dimmi tu.
È possibile approssimare il movimento del prezzo del titolo davanti ad oscillazioni nei valori dei tassi di interesse.
Con la duration si può fornire un'approssimazione lineare della funzione prezzo e quindi sapere in anticipo a che di quanto varierà il prezzo se i tassi varieranno dell'$x%$.
Perdonami ma almeno un minimo di formalismo devo usarlo.
Passa direttamente all'ultima equazione se vuoi, per il tuo scopo non è fondamentale conoscere i passaggi che sto per scrivere. Consideriamo un titolo, il cui valore è $V(t,x)$.
Si può esprimere il valore del titolo esplicitando la dipendenza dal tasso.
Indicando con $i_{0}$ il tasso corrente, il polinomio di Taylor che lo approssima (al primo ordine) è:
$V(t, x, i)=V(t, x, i_{0})+V'(t, x, i_{0})(i-i_{0}) + o(i-i_{0})$
Dove $V’(\cdot)$ rappresenta la derivata prima.
Si noti che non è un'approssimazione (visto il resto di Peano). Passando alle variazioni relative:
$\frac{V(t, x, i)}{V(t, x, i_{0})}=1- \frac{1}{1+i_{0}} \frac{V'(t, x, i_{0})(i-i_{0})}{V(t, x, i_{0})}+ o(i-i_{0})$
Ovvero, semplificando la notazione:
$(V(t, x, i)-V(t, x, i_{0}))/(V(t, x, i_{0}))~=(Delta V(t, x))/(V(t, x))~= -(1)/(1+i)*D(t, x)* Delta i$
@gianca la relazione che ti interessa è questa:
$Delta V(t, x)~= -(1)/(1+i)*D(t, x)V(t, x) Delta i$
Intendila come: Prezzo nuovo - Prezzo vecchio = [$-(1)/(1+i)*D(t, x)V(t, x) Delta i$]
Che mostra una relazione decrescente tra la variazione dei tassi di interesse ($Delta i$) e la variazione di prezzo.
Quindi, se il titolo vale $100$ ($V(t, x)=100$), ora il tasso di riferimento è al $3%$, il titolo ha una duration $D(t,x)=4.5$ e si vuole sapere cosa accadrà se sale al $5%$, allora:
$Delta V(t, x)~= -(1)/(1+0.03)*4.5*100*0.02$
Quella di sopra è facilmente riconducibile ad un polinomio di Taylor di primo grado, in grado di approssimare il valore del titolo.
Dove l'approssimazione consiste nel trascurare l'errore di primo grado.
È immediato osservare che tale approssimazione (essendo un polinomio di primo grado) rappresenta una retta.
Trattandosi di un'approssimazione di primo grado ed essendo la funzione che descrive il prezzo rispetto al tasso convessa, per avere una stima più precisa della variazione si può estendere l'approssimazione al secondo grado facendo così ricorso alla convessità del titolo.
Spero di esser stato chiaro. Se vuoi estendo alla convessità, dimmi tu.