Il tema è quello della trasformazione di valori in prezzi, ma ciò che mi blocca è un problema prettamente matematico.
Il testo che seguo propone la seguente proposizione:
Siano $k_k$ e $k_c$ le quantità di bene capitale usate per produrre un'unità di bene capitale e una di bene di consumo rispettivamente, $l_k$ e $l_c$ gli input di lavoro, $p_k$ e $p_c$ i prezzi monetari, $w$ il salario monetario e $r$ il saggio di profitto. Avremo:
$p_k=wl_k+k_{k}p_{k}(1+r)$
$p_c=wl_c+k_{c}p_{k}(1+r)$
Poi, ipotizzando che il prodotto lordo dei beni capitali sia uguale ai rimpiazzi, ossia che $k_{k}+k_{c}=1$, e ponendo $L=l_{k}+l_{l}$, abbiamo che il saggio di profitto medio è pari a
$r={p_{c}-wL}/p_k$
Ora, non ho dubbi sulla veridicità di quest'ultima, sia per motivi di intuizione che per diversi esempi a cui l'ho applicata. L'unica cosa che mi da fastidio è non riuscire a ricavarmela dalle due equazioni sopra.
Ho provato diverse strade, nessuna che mi ha portato al semplice risultato di $r$.
Ne riporto una a titolo esemplificativo di seguito:
Dalla prima ho ricavato:
$r={wl_{k}-p_{k}}/{-k_{k}p_{k}}-1$
Dalla seconda:
$r={p_{c}-wl_{c}}/{k_{c}p_{k}}-1$
Così ho pensato di porre:
$2r= {wl_{k}-p_{k}}/{-k_{k}p_{k}}-1 + {p_{c}-wl_{c}}/{k_{c}p_{k}}-1$
Dopo una serie di semplici passaggi arrivo a:
$r={k_{c}p_{k}+k_{k}p_{c}-wl_{k}k_{c}-wl_{c}k_{k}-2k_{c}k_{k}p_{k}}/{2k_{c}k_{k}p_{k}}$
A questo punto ho provato a raccogliere $w$, ed alternativamente a sostituire $k_{k}=1-k_{c}$, o ancora a sostituire $l_{k}=L-l_{c}$ ma nulla da fare, non sono mai riuscito ad arrivare al semplice $r={p_{c}-wL}/p_k$.
Sbaglio strada? Mi potete dare una mano prima che impazzisca
?Grazie in anticipo.
