Esercizio su ammortamento

[Bea1234]

Ciao a tutti!
Ho dei dubbi sullo svolgimento di questo problema:
"Si vuole costituire 196000€ di capitale in 4 anni versando 4 rate annue costanti anticipate. Tasso interesse 3% per i primi 3 anni e 2,5% per il quarto,si determini la rata."
L'ho impostato così:
$196000= 3R(1+0,3)+R(1+0,025)$ cioè ho applicato la formula del regime di interesse composto.
Qualcuno sa dirmi se è corretto?

[Gughigt]

Ciao con la relazione che hai impostato stai affermando che:
i) costituisci il capitale in un anno solo e non in 4 come ti chiede la traccia
ii) versi lo stesso importo nello stesso momento per ottenere due rendimento diversi
iii) non c’è nessuna relazione di equità attuariale rispettata
In parole più semplici: dovresti studiare la teoria.
Guardiamo da vicino il tuo problema.
Ti si sta chiedendo di trovare quell’importo tale per cui impiegandolo dall’istante $0$ a quello $3$ al tasso annuo composto del $3%$ (significa che al termine di ogni anno reinvesti il capitale e gli interessi che hai ottenuto) e poi dall’istante $3$ all’istante $4$ al tasso annuo composto del $2.5%$ ti farà ottenere un importo pari a $196000$.
Non avrebbe senso che ti dessi la soluzione ma provo a mostrarti in che modo dovresti ragionare con un esempio analogo.
Se io ho 10 euro e li investo per 3 anni al tasso annuo composto del $5%$ alla fine del primo anno avrò un ammontare pari a:

$10\cdot (1.05)=10.50$

Poi alla fine del primo anno li reinvesto sempre allo stesso tasso per un altro anno, quindi:

$10.50 \cdot (1.05)=11.025$

Alla fine del secondo anno reinvesto quello che ho ottenuto durante questo per un altro anno, sempre al $5%$:

$11.025\cdot (1.05)=11.57625$

Ma allora il mio investimento proviene da tre operazioni che possono essere espresse nel modo seguente:

$10\cdot (1.05)\cdot (1.05)\cdot (1.05)=10\cdot (1.05)^3=11.57625$

Questo significa che ho composto gli interessi reinvestendo ogni anno sempre di più (capitale iniziale di 10€ più gli interessi di ciascun anno).
Immagina ora che tra 3 periodi dovrai spendere esattamente $11.57625$ e che una banca ti offre il $5%$ annuo (magari!) sulla liquidità depositata. Come calcoleresti quanto devi versare oggi per avere quell’importo domani?

Alla luce di questo come imposteresti ora il tuo esercizio?

[Bea1234]

Grazie mille per la risposta molto esaustiva!
Dunque, la somma ottenuta nei primi 3 anni va reinvestita il quarto,per cui alla luce di ciò l'impostazione è questa:
$196000=R(1+0,03)^3(1+0,025)$

[Gughigt]

No. Più semplicemente: una banca ti propone di fissare al $3%$ il tasso di rendimento annuo che ti offre sulla liquidità che ci depositi per i prossimi 3 anni. Dopo questo periodo ti garantisce oggi che potrà offrirti il $2.5%$ annuo. Devi costituire quel capitale entro la fine del quarto anno dunque hai 3 rate annuali al $3%$ ed un’altra al $2.5%$.
Questo significa che verserai $R$ all’istante 1, al 2, al 3 ed al 4.
La relazione che $R$ dovrà soddisfare è dunque:

$196000 \stackrel{!}{=} R\cdot (1.03)^4+ R\cdot (1.03)^3+ R\cdot (1.03)^2+R\cdot (1.025)$

Quindi:

$196000 \stackrel{!}{=} R\cdot [(1.03)^4+ (1.03)^3+ (1.03)^2 +(1.025)]$

$hArr R=45537.59655$

La relazione che hai impostato tu non è corretta. Fai attenzione, ti si chiede di determinare l’importo delle 4 rate (tutte uguali), quello che hai scritto sarebbe corretto se la traccia ti avesse chiesto quale somma devi investire oggi per avere dopo 4 anni $196000$ con quei tassi di interesse.
È più chiaro ora?

[Bea1234]

Ora ho capito,grazie mille ancora!