An Integral Inequality Involving Composite Functions

Messaggioda gugo82 » 29/05/2019, 02:51

Problem:

Let $f,g:[0,1] -> [0,1]$ be continuous functions and $f$ be increasing.
Prove that:
\[
\int_0^1 f(g(x))\ \text{d} x \leq \int_0^1 f(x)\ \text{d} x + \int_0^1 g(x)\ \text{d} x\;.
\]

Hints:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Consider the function $f(u) - u$, with $u in [0,1]$, and prove that $f(u) - u \leq \int_0^1 f(x) "d" x$; then use Mean Value Theorem to conclude.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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