An Improper Riemann Integral

Messaggioda gugo82 » 12/03/2015, 21:53

Exercise
Evaluate:
\[
\intop_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\text{d} x\; .
\]
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Messaggioda j18eos » 13/03/2015, 12:51

For clarity, one has:
\[
\frac{e^x}{1-e^x}=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{nx}\,\text{for}\,x<0;
\]
formally, one has:
\[
\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{-x}\right)^n\,\text{for}\,x>0.
\]

I think that you are wrong...
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: An Improper Riemann Integral

Messaggioda gugo82 » 13/03/2015, 13:50

@ TeM: Ok, your answer's correct!

***

Now a simple generalization...

Exercise
Evaluate:
\[
\intop_0^\infty \frac{x^\alpha}{e^x - 1}\ \text{d} x\; ,
\]
where \(\alpha \geq 1\).
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Re: An Improper Riemann Integral

Messaggioda gugo82 » 13/03/2015, 16:43

@ TeM: Abramowitz & Stegun? :wink:
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Re: An Improper Riemann Integral

Messaggioda gugo82 » 13/03/2015, 21:23

TeM ha scritto:
gugo82 ha scritto:Abramowitz & Stegun?

Honestly I didn't know anything of this "Bible" (I peeked just now on the net...)!! :shock: :o

It is a very useful reference for this kind of questions.
There is also a new online edition.

TeM ha scritto:The idea for the series came to me reviewing some similar example that our professor of
analysis mathematics showed us in his "insights for the most curious", while for all the rest
(as was ever mine wont) the source is mathworld.wolfram.com. :-)

Just out of curiosity, who was your Mathematical Analysis prof.?
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