Esercizio Dimostrazione per contrapposizione

[python34]

Salve ragazzi,sto svolgendo il seguente esercizio:

"Per ogni a,b,c numeri naturali, se \(\displaystyle a^2 + b^2 = c^2 \) allora \(\displaystyle a+b>=c \)"

E viene richiesta esplicitamente una dimostrazione per contrapposizione. Io procedo in questo modo:

Siano p = "\(\displaystyle a^2 + b^2 = c^2 \) " e q = " \(\displaystyle a+b>=c \)"

Voglio dimostrare indirettamente p->q dimostrando \(\displaystyle NOT (q) -> NOT(p) \)

La negazione di q diventa quindi\(\displaystyle a+b<c \). Ipotizzo vera q,dato che nel caso fosse falsa l'implicazione
sarebbe automaticamente vera. Ora devo dimostrare che è vera la negazione di p, ossia è vera \(\displaystyle a^2+b^2 != c^2 \)(diverso !=)
ma non so come procedere...
Qualcuno ha un'idea?

[dan95]

Hai supposto $a+b<c \Rightarrow (a+b)^2=a^2+2ab+b^2<c^2 \Rightarrow a^2+b^2<c^2-2ab<c^2$

[python34]

Ciao,innanzitutto grazie per la risposta
Non bisognerebbe considerare i singoli quadrati,ossia \(\displaystyle a^2 + b^2 \)?
Non riesco a capire perchè procedi in questo modo

[dan95]

Tu parti dalla negazione di $Q$, cioè $a+b<c$ e devi dimostrare che ciò implica la negazione di $P$, ovvero $a^2+b^2 \ne c^2$ (dimostriamo che $a^2+b^2<c^2$, chiaramente questo implica che sono diversi). Quindi partiamo da $Q$:
$a+b<c \Rightarrow (a+b)^2=a^2+2ab+b^2<c^2$
Ho elevato al quadrato mantenendo la disuguaglianza questo lo posso fare dato che $a,b$ e $c$ sono numeri naturali. Ora dalla disuguaglianza di prima si ricava che $a^2+b^2<c^2-2ab$, poiché sono numeri naturali $c^2-2ab \leq c^2$, la disuguaglianza è stretta quando $ab>0$. Quindi $a^2+b^2<c^2$ come volevamo verifare