Esercizio di Algebra I sui Gruppi

[manuelb93]

Buonasera,vi chiedo una mano per questo esercizio.
Il testo è il seguente:
Sia G un Gruppo di ordine $3875=5^3 * 31$. Mostrare che G non è semplice, ovvero ha almeno un sottogruppo normale diverso da G e { 1G }. Credo di fare un po' di confusione con i teoremi riguardanti la teoria dei Gruppi.
Grazie in anticipo a chi risponderà.

[Shocker]

Quanti sono i possibili 31-Sylow?

[manuelb93]

Dovrebbero essere o 1 o 125 distinti, giusto?

[Shocker]

Ok, Se ne hai solo uno non c'è nulla da dimostrare. Se ne hai 125? Perché non provi a contare quanti sono gli elementi che non stanno nei 125 31-sylow?

[manuelb93]

$3875-(125 * 2 +1)=3624$ Elementi di ordine diverso da 1 e da 125, giusto?

[Shocker]

No. Devi contare gli elementi che non stanno nei 31-sylow. Insomma in tutto gli elementi dei 31-Sylow di ordine diverso da 1 sono 125*30, quindi rimangono $3875-125*30 = 125$ elementi, che vanno tutti in un 5-sylow, che è unico(ho esaurito tutti gli elementi del gruppo) e quindi normale.

[manuelb93]

Allora, tiro le somme per concretizzare i miei dubbi in domande specifiche. Abbiamo un gruppo di ordine $o(G)=5^3 *31$. Per il Teorema di Lagrange sappiamo che, dato un gruppo G di ordine n, un suo sottogruppo H deve avere ordine r tale che r è un divisore di n. Nel nostro caso, gli eventuali sottogruppi non banali di G possono avere ordine $r={5,25,125,31,155,755}$. Ok, ora possiamo usare i teoremi di Sylow. Il primo ci dice che per ogni numero primo p divisore dell'ordine di G, cioè di n, ogni gruppo finito contiene i sottogruppi di Sylow e il numero di tali sottogruppi (p-sottogruppi o p-Sylow) è congruo a 1 modulo p.
Nel nostro caso abbiamo che G contiene i 5-Sylow e i 31-Sylow. Inoltre sappiamo che di 31-Sylow ne abbiamo o 1 o 125 (unici valori congrui a 1 modulo 31 e al contempo dovisori di $n/(o(5-Sylow))$. Di 5-Sylow ne abbiamo invece o 1 o 31, calcolati allo stesso modo dei precedenti.
Quindi, prima domanda, perché non consideriamo proprio i 5-Sylow per cercare un sottogruppo normale?
Procediamo a ragionare sui 31-Sylow:
-Perché scartiamo l'ipotesi in cui abbiamo solo un 31-Sylow?
Ora analizziamo il caso in cui si hanno 125 31-Sylow. Per cercare il numero di elementi che non stanno nei 31-Sylow si usa la formula: $3875 - 30*125$, da cui deduco che un p-Sylow ha $p-1$ Elementi. Perché un p-Sylow ha $p-1$ elementi?
Ora abbiamo che che in tutto il gruppo G, 125 elementi non stanno nei 31-Sylow. Perché questi vanno tutti in un 5-Sylow, e perché questo comporta che il 5-Sylow in questione è il sottogruppo non banale cercato?

[Shocker]

Allora, tiro le somme per concretizzare i miei dubbi in domande specifiche. Abbiamo un gruppo di ordine $o(G)=5^3 *31$. Per il Teorema di Lagrange sappiamo che, dato un gruppo G di ordine n, un suo sottogruppo H deve avere ordine r tale che r è un divisore di n. Nel nostro caso, gli eventuali sottogruppi non banali di G possono avere ordine $r={5,25,125,31,155,755}$. Ok, ora possiamo usare i teoremi di Sylow. Il primo ci dice che per ogni numero primo p divisore dell'ordine di G, cioè di n, ogni gruppo finito contiene i sottogruppi di Sylow e il numero di tali sottogruppi (p-sottogruppi o p-Sylow) è congruo a 1 modulo p.
Nel nostro caso abbiamo che G contiene i 5-Sylow e i 31-Sylow. Inoltre sappiamo che di 31-Sylow ne abbiamo o 1 o 125 (unici valori congrui a 1 modulo 31 e al contempo dovisori di $n/(o(5-Sylow))$. Di 5-Sylow ne abbiamo invece o 1 o 31, calcolati allo stesso modo dei precedenti.

Tutto corretto.

Quindi, prima domanda, perché non consideriamo proprio i 5-Sylow per cercare un sottogruppo normale?

Perché i $5$-sylow in questo caso fanno schifo, insomma un $5$ sylow ha cardinalità $125$, dunque puoi dire poco o nulla sulla cardinalità dell'intersezione di due $5$-sylow. I $31$-sylow in questo caso sono bellissimi, poiché hanno cardinalità $31$(un primo) sicché l'intersezione di due $31$ sylow distinti è sempre banale(altrimenti coinciderebbero, cerca di formalizzare questo passaggio chiave).

Procediamo a ragionare sui 31-Sylow:
-Perché scartiamo l'ipotesi in cui abbiamo solo un 31-Sylow?

Non l'ho scartata, ho scritto che se ne abbiamo uno non c'è nulla da dimostrare perché se un gruppo $G$ ha un solo $31$ sylow allora questo è normale e quindi il gruppo non è semplice.

Ora analizziamo il caso in cui si hanno 125 31-Sylow. Per cercare il numero di elementi che non stanno nei 31-Sylow si usa la formula: $3875 - 30*125$, da cui deduco che un p-Sylow ha $p-1$ Elementi. Perché un p-Sylow ha $p-1$ elementi?

Questa deduzione è sbagliata, io ho calcolato gli elementi che non hanno ordine $31$: un $31-$Sylow ha $31$ elementi, tolta l'identità(non ha ordine $31$) ne ho $30$, per quanto scritto sopra due $31$ sylow distinti hanno intersezione banale quindi per ogni $31$ sylow ho $30$ elementi di ordine $31$, quindi gli elementi che NON hanno ordine $31$ sono $3875 - 125*30$(ordine del gruppo - tutti gli elementi di ordine $31$).

Ora abbiamo che che in tutto il gruppo G, 125 elementi non stanno nei 31-Sylow. Perché questi vanno tutti in un 5-Sylow, e perché questo comporta che il 5-Sylow in questione è il sottogruppo non banale cercato?

Perché per i teoremi di sylow un $5-$Sylow esiste sempre, quindi quei $125$ elementi restanti non possono che andare in un $5$-sylow(di cardinalità $125$), segue che ho un solo $5$ sylow(ho esaurito tutti gli elementi del gruppo) e quindi ho trovato un sottogruppo normale non banale(il $5-$sylow).

Questa è solo una tecnica per dimostrare che il gruppo non è semplice.
Ve ne sono altre, proviamo ad esempio a dimostrare che un gruppo di ordine $G = 5^3 * 11$.
Supponiamo che $G$ sia semplice, allora $n_5 = 11$, faccio agire $G$ per coniugio sull'insieme degli $5-$Sylow, dunque ho un omomorfismo $\psi: G \to S_11$, poiché $G$ è semplice allora o $Ker(\psi) = G$ o $\Ker(\psi) = {0}$. Nel primo caso questo equivarebbe a dire che $G$ agisce banalmente per coniugio sugli $5$-sylow, quindi sarebbero normali, il che è assurdo perché $n_5 != 1$. Quindi deve essere $\Ker(\psi) = {0}$, dunque l'omomorfismo è iniettivo e vale che $|G| | 11!$ e anche questo è assurdo perché $125$ non divide $11!$, dunque necessariamente $n_5 = 1$ e quindi $G$ non può essere semplice.

Un buon esercizio per impratichirsi con queste tecniche è dimostrare che un gruppo di ordine $144$ non è semplice.

[manuelb93]

Non l'ho scartata, ho scritto che se ne abbiamo uno non c'è nulla da dimostrare perché se un gruppo G ha un solo 31 sylow allora questo è normale e quindi il gruppo non è semplice.

Perché per i teoremi di sylow un 5−Sylow esiste sempre, quindi quei 125 elementi restanti non possono che andare in un 5-sylow(di cardinalità 125), segue che ho un solo 5 sylow(ho esaurito tutti gli elementi del gruppo) e quindi ho trovato un sottogruppo normale non banale(il 5−sylow).

Quindi in pratica l'obbiettivo finale è quello di provare che un gruppo G ha solo un p-Sylow, perché in tal caso questo è normale
e quindi ho dimostrato che il gruppo non è semplice.

Per il resto credo di fare confusione tra ordine e cardinalità, ma la spiegazione generale è stata ottima. Ho cancellato parecchi dubbi dalla lista, per questo ti ringrazio.

Un buon esercizio per impratichirsi con queste tecniche è dimostrare che un gruppo di ordine 144 non è semplice.

Questo weekend ripasserò bene la teoria e dopo mi cimenterò.

[Shocker]

Per il resto credo di fare confusione tra ordine e cardinalità, ma la spiegazione generale è stata ottima. Ho cancellato parecchi dubbi dalla lista, per questo ti ringrazio.

Effettivamente li ho usati come sinonimi, ad ogni modo quando si dice "Gruppo di ordine $n$" s'intende un gruppo di cardinalità $n$(a meno di contesti spastici in cui "ordine" vuol dire tutt'altro), quando si dice "elemento $g \in G$ di ordine $n$" s'intende che il minimo intero positivo $k \in \mathbb{N}^(+)$ per cui $g^k = e$ è proprio $n$.

Quindi in pratica l'obbiettivo finale è quello di provare che un gruppo G ha solo un p-Sylow, perché in tal caso questo è normale
e quindi ho dimostrato che il gruppo non è semplice.

L'obiettivo finale è dimostrare che $G$ ha un sottogruppo normale non banale, non sempre si riesce a farlo mostrando l'unicità di un $p-$sylow. Per esempio nell'esercizio proposto(Vado a memoria), dimostrare che uno dei sylow è unico potrebbe essere difficile.