Definiamo
$A+B=(A-B)uu(B-A)$
e proviamo a dimostrare che $(A+B)+C=A+(B+C)$
$x in (A+B)$ ovvero per definizione $x in (A-B)uu(B-A)$
$rArr x in (A-B) vv x in (B-A) $
$rArr (x in A ^^ x !in B) vv (x in B ^^ x !in A)$
$rArr (x in A vv x in B) ^^ (x !in A ^^ x !in B)$
$rArr x in (AuuB) – (A nn B)$
A ) Ora se $ x in (A+B)+C rArr x in (A+B) vv x in C$, ma $ x !in (A + B) nn C$ .
Se $ x in A+B$ allora $ x in A vv x in B$, ma $x !in A nn B$
Dunque se $ x in (AuuB)uuC $ per definizione di unione $x in (AuuB) vv x in C$, cioè $(x in A vv x in B) vv x in C$
ma $vv$ gode della proprietà associativa e ciò implica $ x in A vv (x in B vv x in C)$ e per definizione di unione $x in Auu(BuuC) .$
Ma sappiamo che per come è definita l'addizione di $ A + B$, se
B) $x in Auu(BuuC) rArrx in A vv x in (B+C)$, ma $ x !in A nn(B + C).$
Se$ x in B+C$ allora $x in B vv x in C $ ma $ x !in B nn C$
$x in (A+B)+C rArr x in A + (B+C)$ per cui $(A+B)+C sube A + (B+C)$
Cosa ne pensate.